Основы алгебры Примеры

$(x^{- 2} - y^{- 2}) \div (x^{- 1} + y^{- 1})$

Этап 1

Запишем деление в виде дроби.

$\frac{x^{- 2} - y^{- 2}}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Этап 2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $x^{- 2}$ в виде ${(x^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{{(x^{- 1})}^{2} - y^{- 2}}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Этап 2.2

Перепишем $y^{- 2}$ в виде ${(y^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{{(x^{- 1})}^{2} - {(y^{- 1})}^{2}}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Этап 2.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{- 1}$ и $b = y^{- 1}$ .

$\frac{(x^{- 1} + y^{- 1}) (x^{- 1} - y^{- 1})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(\frac{1}{x} + y^{- 1}) (x^{- 1} - y^{- 1})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Этап 2.4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) (x^{- 1} - y^{- 1})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Этап 2.4.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) (\frac{1}{x} - y^{- 1})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Этап 2.4.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Этап 2.5

Чтобы записать $\frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y}) (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Этап 2.6

Чтобы записать $\frac{1}{y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x}) (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Этап 2.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x y$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(\frac{y}{x y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x}) (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Этап 2.7.2

Умножим $\frac{1}{y}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{y}{x y} + \frac{x}{y x}) (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Этап 2.7.3

Изменим порядок множителей в $y x$ .

$\frac{(\frac{y}{x y} + \frac{x}{x y}) (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Этап 2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Этап 2.9

Чтобы записать $\frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Этап 2.10

Чтобы записать $- \frac{1}{y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Этап 2.11

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x y$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x y} - \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Этап 2.11.2

Умножим $\frac{1}{y}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x y} - \frac{x}{y x})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Этап 2.11.3

Изменим порядок множителей в $y x$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x y} - \frac{x}{x y})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Этап 2.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Этап 3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{1}{x} + y^{- 1}}$

Этап 3.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}$

Этап 3.3

Чтобы записать $\frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y}}$

Этап 3.4

Чтобы записать $\frac{1}{y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x}}$

Этап 3.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x y$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{y}{x y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x}}$

Этап 3.5.2

Умножим $\frac{1}{y}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{y}{x y} + \frac{x}{y x}}$

Этап 3.5.3

Изменим порядок множителей в $y x$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{y}{x y} + \frac{x}{x y}}$

Этап 3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{y + x}{x y}}$

Этап 4

Умножим $\frac{y + x}{x y}$ на $\frac{y - x}{x y}$ .

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x y (x y)}}{\frac{y + x}{x y}}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{1} x y \cdot y}}{\frac{y + x}{x y}}$

Этап 5.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{1} x^{1} y \cdot y}}{\frac{y + x}{x y}}$

Этап 5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{1 + 1} y \cdot y}}{\frac{y + x}{x y}}$

Этап 5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y \cdot y}}{\frac{y + x}{x y}}$

Этап 5.5

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} (y^{1} y)}}{\frac{y + x}{x y}}$

Этап 5.6

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} (y^{1} y^{1})}}{\frac{y + x}{x y}}$

Этап 5.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y^{1 + 1}}}{\frac{y + x}{x y}}$

Этап 5.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y^{2}}}{\frac{y + x}{x y}}$

Этап 6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y^{2}} \cdot \frac{x y}{y + x}$

Этап 7

Сократим общий множитель $y + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y^{2}} \cdot \frac{x y}{y + x}$

Этап 7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y - x}{x^{2} y^{2}} (x y)$

Этап 8

Сократим общий множитель $x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $x y$ из $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{y - x}{x y (x y)} (x y)$

Этап 8.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y - x}{x y (x y)} (x y)$

Этап 8.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y - x}{x y}$

Этап 9

Разобьем дробь $\frac{y - x}{x y}$ на две дроби.

$\frac{y}{x y} + \frac{- x}{x y}$

Этап 10

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x y} + \frac{- x}{x y}$

Этап 10.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x} + \frac{- x}{x y}$

Этап 11

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x} + \frac{- x}{x y}$

Этап 11.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x} + \frac{- 1}{y}$

Этап 12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$