Основы алгебры Примеры

$(x^{3} + 10 x^{2} + 11 x - 19) \div (x + 2)$

Этап 1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$11 x$

$19$

Этап 2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$11 x$	-	$19$

Этап 3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$11 x$	-	$19$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$11 x$	-	$19$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$11 x$	-	$19$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

Этап 6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$11 x$	-	$19$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$11 x$

Этап 7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $8 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$11 x$	-	$19$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$11 x$

Этап 8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$11 x$	-	$19$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$

Этап 9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $8 x^{2} + 16 x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$11 x$	-	$19$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$

Этап 10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$11 x$	-	$19$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$5 x$

Этап 11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$11 x$	-	$19$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$5 x$	-	$19$

Этап 12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 5 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$	-	$5$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$11 x$	-	$19$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$5 x$	-	$19$

Этап 13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$8 x$	-	$5$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$11 x$	-	$19$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$5 x$	-	$19$
							-	$5 x$	-	$10$

Этап 14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 5 x - 10$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$	-	$5$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$11 x$	-	$19$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$5 x$	-	$19$
							+	$5 x$	+	$10$

Этап 15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$8 x$	-	$5$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$11 x$	-	$19$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$5 x$	-	$19$
							+	$5 x$	+	$10$
									-	$9$

Этап 16

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x^{2} + 8 x - 5 - \frac{9}{x + 2}$