Основы алгебры Примеры

$- \frac{1}{4} \cdot (x (4 - 4 x))$

Этап 1

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{1}{4} \cdot (x (4 - 4 x))$

Этап 1.2

Упростим $- \frac{1}{4} \cdot (x (4 - 4 x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{1}{4} \cdot (x \cdot 4 + x (- 4 x))$

Этап 1.2.1.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$y = - \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot x + x (- 4 x))$

Этап 1.2.1.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = - \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot x - 4 x \cdot x)$

Этап 1.2.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перенесем $x$ .

$y = - \frac{1}{4} \cdot (4 x - 4 (x \cdot x))$

Этап 1.2.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = - \frac{1}{4} \cdot (4 x - 4 x^{2})$

Этап 1.2.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{1}{4} (4 x) - \frac{1}{4} (- 4 x^{2})$

Этап 1.2.3.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{4}$ в числитель.

$y = \frac{- 1}{4} (4 x) - \frac{1}{4} (- 4 x^{2})$

Этап 1.2.3.2.2

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$y = \frac{- 1}{4} (4 (x)) - \frac{1}{4} (- 4 x^{2})$

Этап 1.2.3.2.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{- 1}{4} (4 x) - \frac{1}{4} (- 4 x^{2})$

Этап 1.2.3.2.4

Перепишем это выражение.

$y = - 1 x - \frac{1}{4} (- 4 x^{2})$

Этап 1.2.3.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{4}$ в числитель.

$y = - 1 x + \frac{- 1}{4} (- 4 x^{2})$

Этап 1.2.3.3.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2}$ .

$y = - 1 x + \frac{- 1}{4} (4 (- x^{2}))$

Этап 1.2.3.3.3

Сократим общий множитель.

$y = - 1 x + \frac{- 1}{4} (4 (- x^{2}))$

Этап 1.2.3.3.4

Перепишем это выражение.

$y = - 1 x - 1 (- x^{2})$

Этап 1.2.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = - 1 x + 1 x^{2}$

Этап 1.2.3.4.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y = - 1 x + x^{2}$

Этап 1.2.3.4.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y = - x + x^{2}$

Этап 1.2.3.4.4

Изменим порядок $- x$ и $x^{2}$ .

$y = x^{2} - x$

Этап 2

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Составим полный квадрат для $x^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 1$

$c = 0$

Этап 2.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $- 1$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.1.1.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{1}{2}$

Этап 2.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Этап 2.1.1.4.2.2

Вычтем $\frac{1}{4}$ из $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Этап 2.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Этап 2.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Этап 2.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 1$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - \frac{1}{4}$

Этап 2.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 2.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{1}{4})$

Этап 2.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 2.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 2.5.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 2.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 2.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 2.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{1}{2}, 0)$

Этап 2.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 2.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 2.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{1}{2}$

Этап 2.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{4})$

Фокус: $(\frac{1}{2}, 0)$

Ось симметрии: $x = \frac{1}{2}$

Директриса: $y = - \frac{1}{2}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{4})$

Фокус: $(\frac{1}{2}, 0)$

Ось симметрии: $x = \frac{1}{2}$

Директриса: $y = - \frac{1}{2}$

Этап 3

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} - (- 1)$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = 1 - (- 1)$

Этап 3.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 1 + 1$

Этап 3.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f (- 1) = 2$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 3.3

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $2$ .

$y = 2$

Этап 3.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} - (- 2)$

Этап 3.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = 4 - (- 2)$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 4 + 2$

Этап 3.5.2

Добавим $4$ и $2$ .

$f (- 2) = 6$

Этап 3.5.3

Окончательный ответ: $6$ .

$6$

Этап 3.6

Значение $y$ при $x = - 2$ равно $6$ .

$y = 6$

Этап 3.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = {(1)}^{2} - (1)$

Этап 3.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1 - (1)$

Этап 3.8.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = 1 - 1$

Этап 3.8.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (1) = 0$

Этап 3.8.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3.9

Значение $y$ при $x = 1$ равно $0$ .

$y = 0$

Этап 3.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = {(2)}^{2} - (2)$

Этап 3.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = 4 - (2)$

Этап 3.11.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (2) = 4 - 2$

Этап 3.11.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$f (2) = 2$

Этап 3.11.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 3.12

Значение $y$ при $x = 2$ равно $2$ .

$y = 2$

Этап 3.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 6 \\ - 1 & 2 \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{array}$

Этап 4

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{4})$

Фокус: $(\frac{1}{2}, 0)$

Ось симметрии: $x = \frac{1}{2}$

Директриса: $y = - \frac{1}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 6 \\ - 1 & 2 \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{array}$

Этап 5