Основы алгебры Примеры

$| x - \frac{1}{4} |$

Этап 1

Найдем вершину функции абсолютного значения. В этом случае вершина $y = | x - \frac{1}{4} |$ лежит в точке $(\frac{1}{4}, 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти координату $x$ вершины, зададим абсолютное значение $x - \frac{1}{4}$ равным $0$ . В данном случае $x - \frac{1}{4} = 0$ .

$x - \frac{1}{4} = 0$

Этап 1.2

Добавим $\frac{1}{4}$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{1}{4}$

Этап 1.3

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{4}$ .

$y = | (\frac{1}{4}) - \frac{1}{4} |$

Этап 1.4

Упростим $| (\frac{1}{4}) - \frac{1}{4} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = | \frac{1 - 1}{4} |$

Этап 1.4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$y = | \frac{0}{4} |$

Этап 1.4.2.2

Разделим $0$ на $4$ .

$y = | 0 |$

Этап 1.4.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$y = 0$

Этап 1.5

Вершина графика абсолютного значения находится в точке $(\frac{1}{4}, 0)$ .

$(\frac{1}{4}, 0)$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

Для каждого значения $x$ имеется одно значение $y$ . Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения, находящиеся вблизи значения $x$ , являющегося вершиной графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим значение $x$ $- 2$ в $f (x) = | x - \frac{1}{4} |$ . В данном случае получится точка $(- 2, \frac{9}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = | (- 2) - \frac{1}{4} |$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2) = | - 2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} |$

Этап 3.1.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2) = | \frac{- 2 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} |$

Этап 3.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 2) = | \frac{- 2 \cdot 4 - 1}{4} |$

Этап 3.1.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.1

Умножим $- 2$ на $4$ .

$f (- 2) = | \frac{- 8 - 1}{4} |$

Этап 3.1.2.4.2

Вычтем $1$ из $- 8$ .

$f (- 2) = | \frac{- 9}{4} |$

Этап 3.1.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 2) = | - \frac{9}{4} |$

Этап 3.1.2.6

$- \frac{9}{4}$ приблизительно равно $- 2.25$ . Это отрицательное число, поэтому обратим знак $- \frac{9}{4}$ и вычтем абсолютное значение.

$f (- 2) = \frac{9}{4}$

Этап 3.1.2.7

Окончательный ответ: $\frac{9}{4}$ .

$y = \frac{9}{4}$

Этап 3.2

Подставим значение $x$ $- 1$ в $f (x) = | x - \frac{1}{4} |$ . В данном случае получится точка $(- 1, \frac{5}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = | (- 1) - \frac{1}{4} |$

Этап 3.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = | - 1 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} |$

Этап 3.2.2.2

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = | \frac{- 1 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} |$

Этап 3.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 1) = | \frac{- 1 \cdot 4 - 1}{4} |$

Этап 3.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.4.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (- 1) = | \frac{- 4 - 1}{4} |$

Этап 3.2.2.4.2

Вычтем $1$ из $- 4$ .

$f (- 1) = | \frac{- 5}{4} |$

Этап 3.2.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 1) = | - \frac{5}{4} |$

Этап 3.2.2.6

$- \frac{5}{4}$ приблизительно равно $- 1.25$ . Это отрицательное число, поэтому обратим знак $- \frac{5}{4}$ и вычтем абсолютное значение.

$f (- 1) = \frac{5}{4}$

Этап 3.2.2.7

Окончательный ответ: $\frac{5}{4}$ .

$y = \frac{5}{4}$

Этап 3.3

Подставим значение $x$ $0$ в $f (x) = | x - \frac{1}{4} |$ . В данном случае получится точка $(0, \frac{1}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = | (0) - \frac{1}{4} |$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $\frac{1}{4}$ из $0$ .

$f (0) = | - \frac{1}{4} |$

Этап 3.3.2.2

$- \frac{1}{4}$ приблизительно равно $- 0.25$ . Это отрицательное число, поэтому обратим знак $- \frac{1}{4}$ и вычтем абсолютное значение.

$f (0) = \frac{1}{4}$

Этап 3.3.2.3

Окончательный ответ: $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{1}{4}$

Этап 3.4

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = | x - \frac{1}{4} |$ . В данном случае получится точка $(1, \frac{3}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = | (1) - \frac{1}{4} |$

Этап 3.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (1) = | \frac{4}{4} - \frac{1}{4} |$

Этап 3.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (1) = | \frac{4 - 1}{4} |$

Этап 3.4.2.3

Вычтем $1$ из $4$ .

$f (1) = | \frac{3}{4} |$

Этап 3.4.2.4

$\frac{3}{4}$ приблизительно равно $0.75$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$f (1) = \frac{3}{4}$

Этап 3.4.2.5

Окончательный ответ: $\frac{3}{4}$ .

$y = \frac{3}{4}$

Этап 3.5

График функции абсолютного значения можно построить по точкам около вершины $(\frac{1}{4}, 0), (- 2, 2.25), (- 1, 1.25), (0, 0.25), (1, 0.75)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 2.25 \\ - 1 & 1.25 \\ 0 & 0.25 \\ \frac{1}{4} & 0 \\ 1 & 0.75 \end{array}$

Этап 4