Основы алгебры Примеры

$| x + 1 | + | 3 x - 1 | > 2$

Этап 1

Заменим $>$ на $=$ в $| x + 1 | + | 3 x - 1 | > 2$ .

$| x + 1 | + | 3 x - 1 | = 2$

Этап 2

Вычтем $| x + 1 |$ из обеих частей уравнения.

$| 3 x - 1 | = 2 - | x + 1 |$

Этап 3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$3 x - 1 = \pm (2 - | x + 1 |)$

Этап 4

Результат состоит как из положительных, так и из отрицательных частей $\pm$ .

$3 x - 1 = 2 - | x + 1 |$

$3 x - 1 = - (2 - | x + 1 |)$

Этап 5

Решим $3 x - 1 = 2 - | x + 1 |$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Решим относительно $| x + 1 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем уравнение в виде $2 - | x + 1 | = 3 x - 1$ .

$2 - | x + 1 | = 3 x - 1$

Этап 5.1.2

Перенесем все члены без $| x + 1 |$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- | x + 1 | = 3 x - 1 - 2$

Этап 5.1.2.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$- | x + 1 | = 3 x - 3$

Этап 5.1.3

Разделим каждый член $- | x + 1 | = 3 x - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Разделим каждый член $- | x + 1 | = 3 x - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- | x + 1 |}{- 1} = \frac{3 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 5.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{| x + 1 |}{1} = \frac{3 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 5.1.3.2.2

Разделим $| x + 1 |$ на $1$ .

$| x + 1 | = \frac{3 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 5.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{3 x}{- 1}$ .

$| x + 1 | = - 1 \cdot (3 x) + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 5.1.3.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (3 x)$ в виде $- (3 x)$ .

$| x + 1 | = - (3 x) + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 5.1.3.3.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$| x + 1 | = - 3 x + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 5.1.3.3.1.4

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$| x + 1 | = - 3 x + 3$

Этап 5.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x + 1 = \pm (- 3 x + 3)$

Этап 5.3

Результат состоит как из положительных, так и из отрицательных частей $\pm$ .

$x + 1 = - 3 x + 3$

$x + 1 = - (- 3 x + 3)$

Этап 5.4

Решим $x + 1 = - 3 x + 3$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Добавим $3 x$ к обеим частям уравнения.

$x + 1 + 3 x = 3$

Этап 5.4.1.2

Добавим $x$ и $3 x$ .

$4 x + 1 = 3$

Этап 5.4.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4 x = 3 - 1$

Этап 5.4.2.2

Вычтем $1$ из $3$ .

$4 x = 2$

Этап 5.4.3

Разделим каждый член $4 x = 2$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Разделим каждый член $4 x = 2$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{2}{4}$

Этап 5.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{2}{4}$

Этап 5.4.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{4}$

Этап 5.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x = \frac{2 (1)}{4}$

Этап 5.4.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 5.4.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 5.4.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 5.5

Решим $x + 1 = - (- 3 x + 3)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим $- (- 3 x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Перепишем.

$x + 1 = 0 + 0 - (- 3 x + 3)$

Этап 5.5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$x + 1 = - (- 3 x + 3)$

Этап 5.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 = - (- 3 x) - 1 \cdot 3$

Этап 5.5.1.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.4.1

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$x + 1 = 3 x - 1 \cdot 3$

Этап 5.5.1.4.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x + 1 = 3 x - 3$

Этап 5.5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$x + 1 - 3 x = - 3$

Этап 5.5.2.2

Вычтем $3 x$ из $x$ .

$- 2 x + 1 = - 3$

Этап 5.5.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = - 3 - 1$

Этап 5.5.3.2

Вычтем $1$ из $- 3$ .

$- 2 x = - 4$

Этап 5.5.4

Разделим каждый член $- 2 x = - 4$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Разделим каждый член $- 2 x = - 4$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

Этап 5.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

Этап 5.5.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 2}$

Этап 5.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.3.1

Разделим $- 4$ на $- 2$ .

$x = 2$

Этап 5.6

Объединим решения.

$x = \frac{1}{2}, 2$

Этап 6

Решим $3 x - 1 = - (2 - | x + 1 |)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Решим относительно $| x + 1 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перепишем уравнение в виде $- (2 - | x + 1 |) = 3 x - 1$ .

$- (2 - | x + 1 |) = 3 x - 1$

Этап 6.1.2

Упростим $- (2 - | x + 1 |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 \cdot 2 - - | x + 1 | = 3 x - 1$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 - - | x + 1 | = 3 x - 1$

Этап 6.1.2.3

Умножим $- - | x + 1 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 2 + 1 | x + 1 | = 3 x - 1$

Этап 6.1.2.3.2

Умножим $| x + 1 |$ на $1$ .

$- 2 + | x + 1 | = 3 x - 1$

Этап 6.1.3

Перенесем все члены без $| x + 1 |$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$| x + 1 | = 3 x - 1 + 2$

Этап 6.1.3.2

Добавим $- 1$ и $2$ .

$| x + 1 | = 3 x + 1$

Этап 6.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x + 1 = \pm (3 x + 1)$

Этап 6.3

Результат состоит как из положительных, так и из отрицательных частей $\pm$ .

$x + 1 = 3 x + 1$

$x + 1 = - (3 x + 1)$

Этап 6.4

Решим $x + 1 = 3 x + 1$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$x + 1 - 3 x = 1$

Этап 6.4.1.2

Вычтем $3 x$ из $x$ .

$- 2 x + 1 = 1$

Этап 6.4.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = 1 - 1$

Этап 6.4.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$- 2 x = 0$

Этап 6.4.3

Разделим каждый член $- 2 x = 0$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Разделим каждый член $- 2 x = 0$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Этап 6.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Этап 6.4.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{- 2}$

Этап 6.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.3.1

Разделим $0$ на $- 2$ .

$x = 0$

Этап 6.5

Решим $x + 1 = - (3 x + 1)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Упростим $- (3 x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Перепишем.

$x + 1 = 0 + 0 - (3 x + 1)$

Этап 6.5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$x + 1 = - (3 x + 1)$

Этап 6.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 = - (3 x) - 1 \cdot 1$

Этап 6.5.1.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.4.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$x + 1 = - 3 x - 1 \cdot 1$

Этап 6.5.1.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x + 1 = - 3 x - 1$

Этап 6.5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Добавим $3 x$ к обеим частям уравнения.

$x + 1 + 3 x = - 1$

Этап 6.5.2.2

Добавим $x$ и $3 x$ .

$4 x + 1 = - 1$

Этап 6.5.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - 1 - 1$

Этап 6.5.3.2

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$4 x = - 2$

Этап 6.5.4

Разделим каждый член $4 x = - 2$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.1

Разделим каждый член $4 x = - 2$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 2}{4}$

Этап 6.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 2}{4}$

Этап 6.5.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{4}$

Этап 6.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.3.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$x = \frac{2 (- 1)}{4}$

Этап 6.5.4.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Этап 6.5.4.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Этап 6.5.4.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.5.4.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 6.6

Объединим решения.

$x = 0, - \frac{1}{2}$

Этап 7

Объединим решения.

$x = \frac{1}{2}, 2, 0, - \frac{1}{2}$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 2$

$x > 2$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$| (- 3) + 1 | + | 3 (- 3) - 1 | > 2$

Этап 9.1.3

Левая часть $12$ больше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- \frac{1}{2} < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{1}{2} < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 0.25$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $- 0.25$ в исходном неравенстве.

$| (- 0.25) + 1 | + | 3 (- 0.25) - 1 | > 2$

Этап 9.2.3

Левая часть $2.5$ больше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.25$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $0.25$ в исходном неравенстве.

$| (0.25) + 1 | + | 3 (0.25) - 1 | > 2$

Этап 9.3.3

Левая часть $1.5$ не больше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.4

Проверим значение на интервале $\frac{1}{2} < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Выберем значение на интервале $\frac{1}{2} < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 9.4.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$| (1) + 1 | + | 3 (1) - 1 | > 2$

Этап 9.4.3

Левая часть $4$ больше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.5

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 9.5.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$| (4) + 1 | + | 3 (4) - 1 | > 2$

Этап 9.5.3

Левая часть $16$ больше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{1}{2}$ Истина

$- \frac{1}{2} < x < 0$ Истина

$0 < x < \frac{1}{2}$ Ложь

$\frac{1}{2} < x < 2$ Истина

$x > 2$ Истина

$x < - \frac{1}{2}$ Истина

$- \frac{1}{2} < x < 0$ Истина

$0 < x < \frac{1}{2}$ Ложь

$\frac{1}{2} < x < 2$ Истина

$x > 2$ Истина

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - \frac{1}{2}$ или $- \frac{1}{2} < x < 0$ или $\frac{1}{2} < x < 2$ или $x > 2$

Этап 11