Основы алгебры Примеры

$\frac{3 m^{2} (m + 4)}{(m + 3) (m - 5)}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ не определено.

$x = - 3, x = 5$

Этап 2

Поскольку $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- 3$ слева, а $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- 3$ справа, то $x = - 3$ — вертикальная асимптота.

$x = - 3$

Этап 3

Поскольку $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $5$ слева, а $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $5$ справа, то $x = 5$ — вертикальная асимптота.

$x = 5$

Этап 4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - 3, 5$

Этап 5

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 6

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Этап 7

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 8

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $3 x^{2}$ из $3 x^{3} + 12 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Вынесем множитель $3 x^{2}$ из $3 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{2} (x) + 12 x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15}$

Этап 8.1.1.2

Вынесем множитель $3 x^{2}$ из $12 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (4)}{x^{2} - 2 x - 15}$

Этап 8.1.1.3

Вынесем множитель $3 x^{2}$ из $3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (4)$ .

$\frac{3 x^{2} (x + 4)}{x^{2} - 2 x - 15}$

Этап 8.1.2

Разложим $x^{2} - 2 x - 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 15$ , а сумма — $- 2$ .

$- 5, 3$

Этап 8.1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x - 5) (x + 3)}$

Этап 8.2

Развернем $3 x^{2} (x + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 4}{(x - 5) (x + 3)}$

Этап 8.2.2

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} x + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

Этап 8.2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

Этап 8.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{2 + 1} + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

Этап 8.2.5

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

Этап 8.2.6

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{(x - 5) (x + 3)}$

Этап 8.3

Развернем $(x - 5) (x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x (x + 3) - 5 (x + 3)}$

Этап 8.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + x \cdot 3 - 5 (x + 3)}$

Этап 8.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + x \cdot 3 - 5 x - 5 \cdot 3}$

Этап 8.3.4

Изменим порядок $x$ и $3$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

Этап 8.3.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

Этап 8.3.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

Этап 8.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{1 + 1} + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

Этап 8.3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{2} + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

Этап 8.3.9

Умножим $- 5$ на $3$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{2} + 3 x - 5 x - 15}$

Этап 8.3.10

Вычтем $5 x$ из $3 x$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15}$

Этап 8.4

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 8.5

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 8.6

Умножим новое частное на делитель.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

Этап 8.7

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{3} - 6 x^{2} - 45 x$ .

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

Этап 8.8

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

Этап 8.9

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

Этап 8.10

Разделим член с максимальной степенью в делимом $18 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

Этап 8.11

Умножим новое частное на делитель.

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

$18 x^{2}$

$36 x$

$270$

Этап 8.12

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $18 x^{2} - 36 x - 270$ .

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

$18 x^{2}$

$36 x$

$270$

Этап 8.13

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

$18 x^{2}$

$36 x$

$270$

$81 x$

$270$

Этап 8.14

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$3 x + 18 + \frac{81 x + 270}{x^{2} - 2 x - 15}$

Этап 8.15

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = 3 x + 18$

Этап 9

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 3, 5$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = 3 x + 18$

Этап 10