Основы алгебры Примеры

$2 x^{2} + y^{2} + 4 y = 144$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Составим полный квадрат для $y^{2} + 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

Этап 1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Этап 1.1.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{2}{1}$

Этап 1.1.3.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$d = 2$

Этап 1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель $4^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.4.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Этап 1.1.4.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.4.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Этап 1.1.4.2.1.1.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Этап 1.1.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 0 - 4$

Этап 1.1.4.2.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$e = - 4$

Этап 1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y + 2)}^{2} - 4$ .

${(y + 2)}^{2} - 4$

Этап 1.2

Подставим ${(y + 2)}^{2} - 4$ вместо $y^{2} + 4 y$ в уравнение $2 x^{2} + y^{2} + 4 y = 144$ .

$2 x^{2} + {(y + 2)}^{2} - 4 = 144$

Этап 1.3

Перенесем $- 4$ в правую часть уравнения, прибавив $4$ к обеим частям.

$2 x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 144 + 4$

Этап 1.4

Добавим $144$ и $4$ .

$2 x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 148$

Этап 1.5

Разделим каждый член на $148$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{2 x^{2}}{148} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{148} = \frac{148}{148}$

Этап 1.6

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{74} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{148} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 2 \sqrt{37}$

$b = \sqrt{74}$

$k = - 2$

$h = 0$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, - 2)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(2 \sqrt{37})}^{2} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{37}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{37}}^{2} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{37}}^{2} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Перепишем ${\sqrt{37}}^{2}$ в виде $37$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{37}$ в виде $37^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(37^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Этап 5.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Этап 5.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Этап 5.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{4 \cdot 37^{1} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Этап 5.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{4 \cdot 37 - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Этап 5.3.3

Умножим $4$ на $37$ .

$\sqrt{148 - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Этап 5.3.4

Перепишем ${\sqrt{74}}^{2}$ в виде $74$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{74}$ в виде $74^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{148 - {(74^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{148 - 74^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{148 - 74^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{148 - 74^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{148 - 74^{1}}$

Этап 5.3.4.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{148 - 1 \cdot 74}$

Этап 5.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Умножим $- 1$ на $74$ .

$\sqrt{148 - 74}$

Этап 5.3.5.2

Вычтем $74$ из $148$ .

$\sqrt{74}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0, - 2 + 2 \sqrt{37})$

Этап 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0, - 2 - (2 \sqrt{37}))$

Этап 6.5

Упростим.

$(0, - 2 - 2 \sqrt{37})$

Этап 6.6

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(0, - 2 + 2 \sqrt{37})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 - 2 \sqrt{37})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, - 2 + 2 \sqrt{37})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 - 2 \sqrt{37})$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0, - 2 + \sqrt{74})$

Этап 7.3

Первый фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0, - 2 - (\sqrt{74}))$

Этап 7.5

Упростим.

$(0, - 2 - \sqrt{74})$

Этап 7.6

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(0, - 2 + \sqrt{74})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 - \sqrt{74})$

${Focus}_{1}$ : $(0, - 2 + \sqrt{74})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 - \sqrt{74})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{37})}^{2} - {(\sqrt{74})}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{37}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{37}}^{2} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Этап 8.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{37}}^{2} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Этап 8.3.1.3

Перепишем ${\sqrt{37}}^{2}$ в виде $37$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{37}$ в виде $37^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(37^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Этап 8.3.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Этап 8.3.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Этап 8.3.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Этап 8.3.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 37^{1} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Этап 8.3.1.3.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 37 - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Этап 8.3.1.4

Умножим $4$ на $37$ .

$\frac{\sqrt{148 - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Этап 8.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{74}}^{2}$ в виде $74$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{74}$ в виде $74^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{148 - {(74^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Этап 8.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{148 - 74^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{37}}$

Этап 8.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{148 - 74^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{37}}$

Этап 8.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{148 - 74^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{37}}$

Этап 8.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{148 - 74^{1}}}{2 \sqrt{37}}$

Этап 8.3.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{148 - 1 \cdot 74}}{2 \sqrt{37}}$

Этап 8.3.1.6

Умножим $- 1$ на $74$ .

$\frac{\sqrt{148 - 74}}{2 \sqrt{37}}$

Этап 8.3.1.7

Вычтем $74$ из $148$ .

$\frac{\sqrt{74}}{2 \sqrt{37}}$

Этап 8.3.2

Объединим $\sqrt{74}$ и $\sqrt{37}$ под одним знаком корня.

$\frac{\sqrt{\frac{74}{37}}}{2}$

Этап 8.3.3

Сократим общий множитель $74$ и $37$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Вынесем множитель $37$ из $74$ .

$\frac{\sqrt{\frac{37 \cdot 2}{37}}}{2}$

Этап 8.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.1

Вынесем множитель $37$ из $37$ .

$\frac{\sqrt{\frac{37 \cdot 2}{37 (1)}}}{2}$

Этап 8.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{\frac{37 \cdot 2}{37 \cdot 1}}}{2}$

Этап 8.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{\frac{2}{1}}}{2}$

Этап 8.3.3.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(0, - 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, - 2 + 2 \sqrt{37})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 - 2 \sqrt{37})$

${Focus}_{1}$ : $(0, - 2 + \sqrt{74})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 - \sqrt{74})$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 10