Основы алгебры Примеры

$\frac{2}{x - 4} < 1$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$\frac{2}{x - 4} - 1 < 0$

Этап 2

Упростим $\frac{2}{x - 4} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{2}{x - 4} - 1 \cdot \frac{x - 4}{x - 4} < 0$

Этап 2.2

Объединим $- 1$ и $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{2}{x - 4} + \frac{- (x - 4)}{x - 4} < 0$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 - (x - 4)}{x - 4} < 0$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 - x - - 4}{x - 4} < 0$

Этап 2.4.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{2 - x + 4}{x - 4} < 0$

Этап 2.4.3

Добавим $2$ и $4$ .

$\frac{- x + 6}{x - 4} < 0$

Этап 2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (x) + 6}{x - 4} < 0$

Этап 2.6

Перепишем $6$ в виде $- 1 (- 6)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 6)}{x - 4} < 0$

Этап 2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 6)$ .

$\frac{- (x - 6)}{x - 4} < 0$

Этап 2.8

Перепишем $- (x - 6)$ в виде $- 1 (x - 6)$ .

$\frac{- 1 (x - 6)}{x - 4} < 0$

Этап 2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x - 6}{x - 4} < 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 6 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 4

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 5

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 6$

$x = 4$

Этап 7

Объединим решения.

$x = 6, 4$

Этап 8

Найдем область определения $- \frac{x - 6}{x - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим знаменатель в $\frac{x - 6}{x - 4}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 4 = 0$

Этап 8.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 4$

$4 < x < 6$

$x > 6$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{2}{(0) - 4} < 1$

Этап 10.1.3

Левая часть $- 0.5$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $4 < x < 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $4 < x < 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$\frac{2}{(5) - 4} < 1$

Этап 10.2.3

Левая часть $2$ не меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\frac{2}{(8) - 4} < 1$

Этап 10.3.3

Левая часть $0.5$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 4$ Истина

$4 < x < 6$ Ложь

$x > 6$ Истина

$x < 4$ Истина

$4 < x < 6$ Ложь

$x > 6$ Истина

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 4$ или $x > 6$

Этап 12