Основы алгебры Примеры

$\frac{4 x^{2}}{81} + \frac{4 y^{2}}{45} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{81}{4}} + \frac{y^{2}}{\frac{45}{4}} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = \frac{9}{2}$

$b = \frac{3 \sqrt{5}}{2}$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 0)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило умножения к $\frac{9}{2}$ .

$\sqrt{\frac{9^{2}}{2^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Возведем $9$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{2^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}}$

Этап 5.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}}$

Этап 5.3.4

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Применим правило умножения к $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{{(3 \sqrt{5})}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 5.3.4.2

Применим правило умножения к $3 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{3^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 5.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 {\sqrt{5}}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 5.3.5.2

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 5.3.5.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Этап 5.3.5.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 5.3.5.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 5.3.5.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{1}}{2^{2}}}$

Этап 5.3.5.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5}{2^{2}}}$

Этап 5.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5}{4}}$

Этап 5.3.6.2

Умножим $9$ на $5$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{45}{4}}$

Этап 5.3.6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{81 - 45}{4}}$

Этап 5.3.6.4

Вычтем $45$ из $81$ .

$\sqrt{\frac{36}{4}}$

Этап 5.3.6.5

Разделим $36$ на $4$ .

$\sqrt{9}$

Этап 5.3.6.6

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}}$

Этап 5.3.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$3$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0 + \frac{9}{2}, 0)$

Этап 6.3

Упростим.

$(\frac{9}{2}, 0)$

Этап 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.5

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0 - (\frac{9}{2}), 0)$

Этап 6.6

Упростим.

$(- \frac{9}{2}, 0)$

Этап 6.7

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0 + 3, 0)$

Этап 7.3

Упростим.

$(3, 0)$

Этап 7.4

Второй фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.5

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0 - (3), 0)$

Этап 7.6

Упростим.

$(- 3, 0)$

Этап 7.7

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(3, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 3, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(3, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 3, 0)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}}}{\frac{9}{2}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}} \frac{2}{9}$

Этап 8.3.2

Применим правило умножения к $\frac{9}{2}$ .

$\sqrt{\frac{9^{2}}{2^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}} \frac{2}{9}$

Этап 8.3.3

Возведем $9$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{2^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}} \frac{2}{9}$

Этап 8.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}} \frac{2}{9}$

Этап 8.3.5

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.1

Применим правило умножения к $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{{(3 \sqrt{5})}^{2}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

Этап 8.3.5.2

Применим правило умножения к $3 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{3^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

Этап 8.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.6.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 {\sqrt{5}}^{2}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

Этап 8.3.6.2

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.6.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

Этап 8.3.6.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

Этап 8.3.6.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

Этап 8.3.6.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.6.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

Этап 8.3.6.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{1}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

Этап 8.3.6.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

Этап 8.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5}{4}} \frac{2}{9}$

Этап 8.3.7.2

Умножим $9$ на $5$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{45}{4}} \frac{2}{9}$

Этап 8.3.7.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{81 - 45}{4}} \frac{2}{9}$

Этап 8.3.7.4

Вычтем $45$ из $81$ .

$\sqrt{\frac{36}{4}} \frac{2}{9}$

Этап 8.3.7.5

Разделим $36$ на $4$ .

$\sqrt{9} \frac{2}{9}$

Этап 8.3.7.6

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}} \frac{2}{9}$

Этап 8.3.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$3 (\frac{2}{9})$

Этап 8.3.9

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.9.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$3 \frac{2}{3 (3)}$

Этап 8.3.9.2

Сократим общий множитель.

$3 \frac{2}{3 \cdot 3}$

Этап 8.3.9.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(3, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 3, 0)$

Эксцентриситет: $\frac{2}{3}$

Этап 10