Основы алгебры Примеры

$\frac{{(x - 9)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 10)}^{2}}{7} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 10)}^{2}}{7} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 3$

$b = \sqrt{7}$

$k = 10$

$h = 9$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(9, 10)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{9 + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{9 + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{9 + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{9 + 7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{9 + 7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{9 + 7^{1}}$

Этап 5.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{9 + 7}$

Этап 5.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Добавим $9$ и $7$ .

$\sqrt{16}$

Этап 5.3.3.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$4$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(12, 10)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(6, 10)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h \pm a, k)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(12, 10), (6, 10)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(13, 10)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(5, 10)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(13, 10), (5, 10)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(\sqrt{7})}^{2}}}{3}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + {\sqrt{7}}^{2}}}{3}$

Этап 8.3.2

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9 + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{3}$

Этап 8.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{9 + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{3}$

Этап 8.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 7^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Этап 8.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{9 + 7^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Этап 8.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{9 + 7^{1}}}{3}$

Этап 8.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{9 + 7}}{3}$

Этап 8.3.3

Добавим $9$ и $7$ .

$\frac{\sqrt{16}}{3}$

Этап 8.3.4

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{3}$

Этап 8.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{4}{3}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{{\sqrt{7}}^{2}}{4}$

Этап 9.3

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Этап 9.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Этап 9.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{7^{\frac{2}{2}}}{4}$

Этап 9.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7^{\frac{2}{2}}}{4}$

Этап 9.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{7^{1}}{4}$

Этап 9.3.5

Найдем экспоненту.

$\frac{7}{4}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (x - (9)) + 10$

Этап 11

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (x - (9)) + 10$

Этап 11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$y = \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (x - 9) + 10$

Этап 11.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{\sqrt{7}}{3} x + \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot - 9 + 10$

Этап 11.2.3

Объединим $\frac{\sqrt{7}}{3}$ и $x$ .

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot - 9 + 10$

Этап 11.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 9$ .

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (3 (- 3)) + 10$

Этап 11.2.4.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (3 \cdot - 3) + 10$

Этап 11.2.4.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} + \sqrt{7} \cdot - 3 + 10$

Этап 11.2.5

Перенесем $- 3$ влево от $\sqrt{7}$ .

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} - 3 \sqrt{7} + 10$

Этап 12

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (x - (9)) + 10$

Этап 12.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$y = - \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (x - 9) + 10$

Этап 12.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{\sqrt{7}}{3} x - \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot - 9 + 10$

Этап 12.2.3

Объединим $x$ и $\frac{\sqrt{7}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot - 9 + 10$

Этап 12.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{7}}{3}$ в числитель.

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + \frac{- \sqrt{7}}{3} \cdot - 9 + 10$

Этап 12.2.4.2

Вынесем множитель $3$ из $- 9$ .

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + \frac{- \sqrt{7}}{3} \cdot (3 (- 3)) + 10$

Этап 12.2.4.3

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + \frac{- \sqrt{7}}{3} \cdot (3 \cdot - 3) + 10$

Этап 12.2.4.4

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} - \sqrt{7} \cdot - 3 + 10$

Этап 12.2.5

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + 3 \sqrt{7} + 10$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} - 3 \sqrt{7} + 10, y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + 3 \sqrt{7} + 10$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(9, 10)$

Вершины: $(12, 10), (6, 10)$

Фокусы: $(13, 10), (5, 10)$

Эксцентриситет: $\frac{4}{3}$

Фокальный параметр: $\frac{7}{4}$

Асимптоты: $y = \frac{\sqrt{7} x}{3} - 3 \sqrt{7} + 10$ , $y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + 3 \sqrt{7} + 10$

Этап 15