Основы алгебры Примеры

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{75} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{75} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 5$

$b = 5 \sqrt{3}$

$k = 2$

$h = 5$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(5, 2)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(5 \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 + {(5 \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Применим правило умножения к $5 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{25 + 5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 5.3.1.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 + 25 {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 5.3.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 + 25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{1}}$

Этап 5.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{25 + 25 \cdot 3}$

Этап 5.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $25$ на $3$ .

$\sqrt{25 + 75}$

Этап 5.3.3.2

Добавим $25$ и $75$ .

$\sqrt{100}$

Этап 5.3.3.3

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$\sqrt{10^{2}}$

Этап 5.3.3.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$10$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(10, 2)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, 2)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h \pm a, k)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(10, 2), (0, 2)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(15, 2)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 5, 2)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(15, 2), (- 5, 2)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(5 \sqrt{3})}^{2}}}{5}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + {(5 \sqrt{3})}^{2}}}{5}$

Этап 8.3.1.2

Применим правило умножения к $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{25 + 5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}}{5}$

Этап 8.3.1.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 25 {\sqrt{3}}^{2}}}{5}$

Этап 8.3.1.4

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{25 + 25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{5}$

Этап 8.3.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{5}$

Этап 8.3.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{5}$

Этап 8.3.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{5}$

Этап 8.3.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{1}}}{5}$

Этап 8.3.1.4.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{25 + 25 \cdot 3}}{5}$

Этап 8.3.1.5

Умножим $25$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{25 + 75}}{5}$

Этап 8.3.1.6

Добавим $25$ и $75$ .

$\frac{\sqrt{100}}{5}$

Этап 8.3.1.7

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$\frac{\sqrt{10^{2}}}{5}$

Этап 8.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{10}{5}$

Этап 8.3.2

Разделим $10$ на $5$ .

$2$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{5 {\sqrt{3}}^{2}}{10}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сократим общий множитель $5$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 {\sqrt{3}}^{2}$ .

$\frac{5 ({\sqrt{3}}^{2})}{10}$

Этап 9.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$\frac{5 {\sqrt{3}}^{2}}{5 \cdot 2}$

Этап 9.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 {\sqrt{3}}^{2}}{5 \cdot 2}$

Этап 9.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Этап 9.3.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Этап 9.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Этап 9.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Этап 9.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Этап 9.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3^{1}}{2}$

Этап 9.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{3}{2}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm \sqrt{3} \cdot (x - (5)) + 2$

Этап 11

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$y = \sqrt{3} \cdot (x - (5)) + 2$

Этап 11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$y = \sqrt{3} \cdot (x - 5) + 2$

Этап 11.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \sqrt{3} x + \sqrt{3} \cdot - 5 + 2$

Этап 11.2.3

Перенесем $- 5$ влево от $\sqrt{3}$ .

$y = \sqrt{3} x - 5 \sqrt{3} + 2$

Этап 12

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$y = - \sqrt{3} \cdot (x - (5)) + 2$

Этап 12.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$y = - \sqrt{3} \cdot (x - 5) + 2$

Этап 12.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \sqrt{3} x - \sqrt{3} \cdot - 5 + 2$

Этап 12.2.3

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$y = - \sqrt{3} x + 5 \sqrt{3} + 2$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \sqrt{3} x - 5 \sqrt{3} + 2, y = - \sqrt{3} x + 5 \sqrt{3} + 2$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(5, 2)$

Вершины: $(10, 2), (0, 2)$

Фокусы: $(15, 2), (- 5, 2)$

Эксцентриситет: $2$

Фокальный параметр: $\frac{3}{2}$

Асимптоты: $y = \sqrt{3} x - 5 \sqrt{3} + 2$ , $y = - \sqrt{3} x + 5 \sqrt{3} + 2$

Этап 15