Основы алгебры Примеры

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{27} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{169} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{27} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{169} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 3 \sqrt{3}$

$b = 13$

$k = - 2$

$h = 1$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(1, - 2)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(3 \sqrt{3})}^{2} + {(13)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Применим правило умножения к $3 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{3^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(13)}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{9 {\sqrt{3}}^{2} + {(13)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(13)}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(13)}^{2}}$

Этап 5.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(13)}^{2}}$

Этап 5.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(13)}^{2}}$

Этап 5.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{9 \cdot 3^{1} + {(13)}^{2}}$

Этап 5.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{9 \cdot 3 + {(13)}^{2}}$

Этап 5.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $9$ на $3$ .

$\sqrt{27 + {(13)}^{2}}$

Этап 5.3.3.2

Возведем $13$ в степень $2$ .

$\sqrt{27 + 169}$

Этап 5.3.3.3

Добавим $27$ и $169$ .

$\sqrt{196}$

Этап 5.3.3.4

Перепишем $196$ в виде $14^{2}$ .

$\sqrt{14^{2}}$

Этап 5.3.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$14$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(1 + 3 \sqrt{3}, - 2)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(1 - 3 \sqrt{3}, - 2)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h \pm a, k)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(1 + 3 \sqrt{3}, - 2), (1 - 3 \sqrt{3}, - 2)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(15, - 2)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 13, - 2)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(15, - 2), (- 13, - 2)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(3 \sqrt{3})}^{2} + {(13)}^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Применим правило умножения к $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{9 {\sqrt{3}}^{2} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 3^{1} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.3.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 3 + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.4

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{27 + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.5

Возведем $13$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{27 + 169}}{3 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.6

Добавим $27$ и $169$ .

$\frac{\sqrt{196}}{3 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.7

Перепишем $196$ в виде $14^{2}$ .

$\frac{\sqrt{14^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{14}{3 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.2

Умножим $\frac{14}{3 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{14}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Умножим $\frac{14}{3 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 8.3.3.2

Перенесем $\sqrt{3}$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Этап 8.3.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Этап 8.3.3.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Этап 8.3.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 8.3.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 8.3.3.7

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.3.3.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.3.3.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.3.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.3.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{1}}$

Этап 8.3.3.7.5

Найдем экспоненту.

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Этап 8.3.4

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{9}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{13^{2}}{14}$

Этап 9.3

Возведем $13$ в степень $2$ .

$\frac{169}{14}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot (x - (1)) - 2$

Этап 11

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot (x - (1)) - 2$

Этап 11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot (x - 1) - 2$

Этап 11.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{13 \sqrt{3}}{9} x + \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1 - 2$

Этап 11.2.3

Объединим $\frac{13 \sqrt{3}}{9}$ и $x$ .

$y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} + \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1 - 2$

Этап 11.2.4

Умножим $\frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Объединим $\frac{13 \sqrt{3}}{9}$ и $- 1$ .

$y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} + \frac{13 \sqrt{3} \cdot - 1}{9} - 2$

Этап 11.2.4.2

Умножим $- 1$ на $13$ .

$y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} + \frac{- 13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Этап 11.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} - \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Этап 12

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot (x - (1)) - 2$

Этап 12.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = - \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot (x - 1) - 2$

Этап 12.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{13 \sqrt{3}}{9} x - \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1 - 2$

Этап 12.2.3

Объединим $x$ и $\frac{13 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = - \frac{x (13 \sqrt{3})}{9} - \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1 - 2$

Этап 12.2.4

Умножим $- \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x (13 \sqrt{3})}{9} + 1 \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Этап 12.2.4.2

Умножим $\frac{13 \sqrt{3}}{9}$ на $1$ .

$y = - \frac{x (13 \sqrt{3})}{9} + \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Этап 12.2.5

Перенесем $13$ влево от $x$ .

$y = - \frac{13 x \sqrt{3}}{9} + \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} - \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2, y = - \frac{13 x \sqrt{3}}{9} + \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(1, - 2)$

Вершины: $(1 + 3 \sqrt{3}, - 2), (1 - 3 \sqrt{3}, - 2)$

Фокусы: $(15, - 2), (- 13, - 2)$

Эксцентриситет: $\frac{14 \sqrt{3}}{9}$

Фокальный параметр: $\frac{169}{14}$

Асимптоты: $y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} - \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$ , $y = - \frac{13 x \sqrt{3}}{9} + \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Этап 15