Основы алгебры Примеры

${(x - 8)}^{2}$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 1$

$h = 8$

$k = 0$

Этап 1.2

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(8, 0)$

Этап 1.4

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.4.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 1.5

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.5.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(8, \frac{1}{4})$

Этап 1.6

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 8$

Этап 1.7

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.7.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{1}{4}$

Этап 1.8

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(8, 0)$

Фокус: $(8, \frac{1}{4})$

Ось симметрии: $x = 8$

Директриса: $y = - \frac{1}{4}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(8, 0)$

Фокус: $(8, \frac{1}{4})$

Ось симметрии: $x = 8$

Директриса: $y = - \frac{1}{4}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7$ .

$f (7) = {(7)}^{2} - 16 \cdot 7 + 64$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$f (7) = 49 - 16 \cdot 7 + 64$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 16$ на $7$ .

$f (7) = 49 - 112 + 64$

Этап 2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $112$ из $49$ .

$f (7) = - 63 + 64$

Этап 2.2.2.2

Добавим $- 63$ и $64$ .

$f (7) = 1$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = 7$ равно $1$ .

$y = 1$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f (6) = {(6)}^{2} - 16 \cdot 6 + 64$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f (6) = 36 - 16 \cdot 6 + 64$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 16$ на $6$ .

$f (6) = 36 - 96 + 64$

Этап 2.5.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $96$ из $36$ .

$f (6) = - 60 + 64$

Этап 2.5.2.2

Добавим $- 60$ и $64$ .

$f (6) = 4$

Этап 2.5.3

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = 6$ равно $4$ .

$y = 4$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $9$ .

$f (9) = {(9)}^{2} - 16 \cdot 9 + 64$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$f (9) = 81 - 16 \cdot 9 + 64$

Этап 2.8.1.2

Умножим $- 16$ на $9$ .

$f (9) = 81 - 144 + 64$

Этап 2.8.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Вычтем $144$ из $81$ .

$f (9) = - 63 + 64$

Этап 2.8.2.2

Добавим $- 63$ и $64$ .

$f (9) = 1$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = 9$ равно $1$ .

$y = 1$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $10$ .

$f (10) = {(10)}^{2} - 16 \cdot 10 + 64$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Возведем $10$ в степень $2$ .

$f (10) = 100 - 16 \cdot 10 + 64$

Этап 2.11.1.2

Умножим $- 16$ на $10$ .

$f (10) = 100 - 160 + 64$

Этап 2.11.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Вычтем $160$ из $100$ .

$f (10) = - 60 + 64$

Этап 2.11.2.2

Добавим $- 60$ и $64$ .

$f (10) = 4$

Этап 2.11.3

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = 10$ равно $4$ .

$y = 4$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 6 & 4 \\ 7 & 1 \\ 8 & 0 \\ 9 & 1 \\ 10 & 4 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(8, 0)$

Фокус: $(8, \frac{1}{4})$

Ось симметрии: $x = 8$

Директриса: $y = - \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 6 & 4 \\ 7 & 1 \\ 8 & 0 \\ 9 & 1 \\ 10 & 4 \end{array}$

Этап 4