Основы алгебры Примеры

$\frac{x^{2}}{{(\frac{36}{5})}^{2}} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1296}{25}} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = \frac{36}{5}$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 0)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(\frac{36}{5})}^{2} + {(4)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило умножения к $\frac{36}{5}$ .

$\sqrt{\frac{36^{2}}{5^{2}} + {(4)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Возведем $36$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{5^{2}} + {(4)}^{2}}$

Этап 5.3.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + {(4)}^{2}}$

Этап 5.3.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16}$

Этап 5.3.5

Чтобы записать $16$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16 \cdot \frac{25}{25}}$

Этап 5.3.6

Объединим $16$ и $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + \frac{16 \cdot 25}{25}}$

Этап 5.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{1296 + 16 \cdot 25}{25}}$

Этап 5.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Умножим $16$ на $25$ .

$\sqrt{\frac{1296 + 400}{25}}$

Этап 5.3.8.2

Добавим $1296$ и $400$ .

$\sqrt{\frac{1696}{25}}$

Этап 5.3.9

Перепишем $\sqrt{\frac{1696}{25}}$ в виде $\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}}$ .

$\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}}$

Этап 5.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.10.1

Перепишем $1696$ в виде $4^{2} \cdot 106$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.10.1.1

Вынесем множитель $16$ из $1696$ .

$\frac{\sqrt{16 (106)}}{\sqrt{25}}$

Этап 5.3.10.1.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 106}}{\sqrt{25}}$

Этап 5.3.10.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{25}}$

Этап 5.3.11

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.11.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{5^{2}}}$

Этап 5.3.11.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{4 \sqrt{106}}{5}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{36}{5}, 0)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- \frac{36}{5}, 0)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h \pm a, k)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(\frac{36}{5}, 0), (- \frac{36}{5}, 0)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- \frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(\frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0), (- \frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(\frac{36}{5})}^{2} + {(4)}^{2}}}{\frac{36}{5}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{{(\frac{36}{5})}^{2} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

Этап 8.3.2

Применим правило умножения к $\frac{36}{5}$ .

$\sqrt{\frac{36^{2}}{5^{2}} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

Этап 8.3.3

Возведем $36$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{5^{2}} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

Этап 8.3.4

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

Этап 8.3.5

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16} \frac{5}{36}$

Этап 8.3.6

Чтобы записать $16$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16 \cdot \frac{25}{25}} \frac{5}{36}$

Этап 8.3.7

Объединим $16$ и $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + \frac{16 \cdot 25}{25}} \frac{5}{36}$

Этап 8.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{1296 + 16 \cdot 25}{25}} \frac{5}{36}$

Этап 8.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.9.1

Умножим $16$ на $25$ .

$\sqrt{\frac{1296 + 400}{25}} \frac{5}{36}$

Этап 8.3.9.2

Добавим $1296$ и $400$ .

$\sqrt{\frac{1696}{25}} \frac{5}{36}$

Этап 8.3.10

Перепишем $\sqrt{\frac{1696}{25}}$ в виде $\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}}$ .

$\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

Этап 8.3.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.11.1

Перепишем $1696$ в виде $4^{2} \cdot 106$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.11.1.1

Вынесем множитель $16$ из $1696$ .

$\frac{\sqrt{16 (106)}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

Этап 8.3.11.1.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 106}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

Этап 8.3.11.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

Этап 8.3.12

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.12.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{5^{2}}} \cdot \frac{5}{36}$

Этап 8.3.12.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{4 \sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{36}$

Этап 8.3.13

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.13.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.13.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \sqrt{106}$ .

$\frac{4 (\sqrt{106})}{5} \cdot \frac{5}{36}$

Этап 8.3.13.1.2

Вынесем множитель $4$ из $36$ .

$\frac{4 (\sqrt{106})}{5} \cdot \frac{5}{4 (9)}$

Этап 8.3.13.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{4 \cdot 9}$

Этап 8.3.13.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{9}$

Этап 8.3.13.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.13.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{9}$

Этап 8.3.13.2.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{106} \frac{1}{9}$

Этап 8.3.13.3

Объединим $\sqrt{106}$ и $\frac{1}{9}$ .

$\frac{\sqrt{106}}{9}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{\frac{4^{2}}{4 \sqrt{106}}}{5}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сократим общий множитель $4^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{106}}}{5}$

Этап 9.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \sqrt{106}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 4}{4 (\sqrt{106})}}{5}$

Этап 9.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{106}}}{5}$

Этап 9.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{4}{\sqrt{106}}}{5}$

Этап 9.3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{4}{\sqrt{106}} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 9.3.3

Умножим $\frac{4}{\sqrt{106}}$ на $\frac{\sqrt{106}}{\sqrt{106}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{106}} \cdot \frac{\sqrt{106}}{\sqrt{106}} \frac{1}{5}$

Этап 9.3.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.1

Умножим $\frac{4}{\sqrt{106}}$ на $\frac{\sqrt{106}}{\sqrt{106}}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{106} \sqrt{106}} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 9.3.4.2

Возведем $\sqrt{106}$ в степень $1$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{1} \sqrt{106}} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 9.3.4.3

Возведем $\sqrt{106}$ в степень $1$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{1} {\sqrt{106}}^{1}} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 9.3.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{1 + 1}} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 9.3.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{2}} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 9.3.4.6

Перепишем ${\sqrt{106}}^{2}$ в виде $106$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{106}$ в виде $106^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{{(106^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 9.3.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 9.3.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 9.3.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 9.3.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{1}} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 9.3.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{4 \sqrt{106}}{106} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 9.3.5

Сократим общий множитель $4$ и $106$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4 \sqrt{106}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{106})}{106} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 9.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $106$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{106})}{2 (53)} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 9.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 \sqrt{106})}{2 \cdot 53} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 9.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{106}}{53} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 9.3.6

Умножим $\frac{2 \sqrt{106}}{53} \cdot \frac{1}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.6.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{106}}{53}$ на $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2 \sqrt{106}}{53 \cdot 5}$

Этап 9.3.6.2

Умножим $53$ на $5$ .

$\frac{2 \sqrt{106}}{265}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm \frac{5}{9} x + 0$

Этап 11

Упростим $\frac{5}{9} x + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $\frac{5}{9} x$ и $0$ .

$y = \frac{5}{9} x$

Этап 11.2

Объединим $\frac{5}{9}$ и $x$ .

$y = \frac{5 x}{9}$

Этап 12

Упростим $- \frac{5}{9} x + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $- \frac{5}{9} x$ и $0$ .

$y = - \frac{5}{9} x$

Этап 12.2

Объединим $x$ и $\frac{5}{9}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{9}$

Этап 12.3

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$y = - \frac{5 x}{9}$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{5 x}{9}, y = - \frac{5 x}{9}$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(0, 0)$

Вершины: $(\frac{36}{5}, 0), (- \frac{36}{5}, 0)$

Фокусы: $(\frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0), (- \frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{106}}{9}$

Фокальный параметр: $\frac{2 \sqrt{106}}{265}$

Асимптоты: $y = \frac{5 x}{9}$ , $y = - \frac{5 x}{9}$

Этап 15