Основы алгебры Примеры

$\frac{\frac{18 n^{2} + 81 n}{27 n^{2} - 63 n}}{\frac{12 n + 54}{15^{3} - 35 n^{2}}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{5 (675 - 7 x^{2})}{6 (3 x - 7)}$ не определено.

$x = \frac{7}{3}$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $5$ из $3375 - 35 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Вынесем множитель $5$ из $3375$ .

$\frac{5 (675) - 35 x^{2}}{18 x - 42}$

Этап 5.1.1.2

Вынесем множитель $5$ из $- 35 x^{2}$ .

$\frac{5 (675) + 5 (- 7 x^{2})}{18 x - 42}$

Этап 5.1.1.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (675) + 5 (- 7 x^{2})$ .

$\frac{5 (675 - 7 x^{2})}{18 x - 42}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $6$ из $18 x - 42$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вынесем множитель $6$ из $18 x$ .

$\frac{5 (675 - 7 x^{2})}{6 (3 x) - 42}$

Этап 5.1.2.2

Вынесем множитель $6$ из $- 42$ .

$\frac{5 (675 - 7 x^{2})}{6 (3 x) + 6 (- 7)}$

Этап 5.1.2.3

Вынесем множитель $6$ из $6 (3 x) + 6 (- 7)$ .

$\frac{5 (675 - 7 x^{2})}{6 (3 x - 7)}$

Этап 5.2

Развернем $5 (675 - 7 x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 \cdot 675 + 5 (- 7 x^{2})}{6 (3 x - 7)}$

Этап 5.2.2

Избавимся от скобок.

$\frac{5 \cdot 675 + 5 \cdot (- 7 x^{2})}{6 (3 x - 7)}$

Этап 5.2.3

Умножим $5$ на $675$ .

$\frac{3375 + 5 \cdot (- 7 x^{2})}{6 (3 x - 7)}$

Этап 5.2.4

Умножим $5$ на $- 7$ .

$\frac{3375 - 35 x^{2}}{6 (3 x - 7)}$

Этап 5.2.5

Изменим порядок $3375$ и $- 35 x^{2}$ .

$\frac{- 35 x^{2} + 3375}{6 (3 x - 7)}$

Этап 5.3

Развернем $6 (3 x - 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 35 x^{2} + 3375}{6 (3 x) + 6 \cdot - 7}$

Этап 5.3.2

Избавимся от скобок.

$\frac{- 35 x^{2} + 3375}{6 \cdot (3 x) + 6 \cdot - 7}$

Этап 5.3.3

Умножим $6$ на $3$ .

$\frac{- 35 x^{2} + 3375}{18 x + 6 \cdot - 7}$

Этап 5.3.4

Умножим $6$ на $- 7$ .

$\frac{- 35 x^{2} + 3375}{18 x - 42}$

Этап 5.4

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$18 x$

$42$

$35 x^{2}$

$0 x$

$3375$

Этап 5.5

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 35 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $18 x$ .

				-	$\frac{35 x}{18}$
	$18 x$	-	$42$	-	$35 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3375$

Этап 5.6

Умножим новое частное на делитель.

			-	$\frac{35 x}{18}$
$18 x$	-	$42$	-	$35 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3375$
			-	$35 x^{2}$	+	$\frac{245 x}{3}$

Этап 5.7

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 35 x^{2} + \frac{245 x}{3}$ .

			-	$\frac{35 x}{18}$
$18 x$	-	$42$	-	$35 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3375$
			+	$35 x^{2}$	-	$\frac{245 x}{3}$

Этап 5.8

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$\frac{35 x}{18}$
$18 x$	-	$42$	-	$35 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3375$
			+	$35 x^{2}$	-	$\frac{245 x}{3}$
					-	$\frac{245 x}{3}$

Этап 5.9

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$\frac{35 x}{18}$
$18 x$	-	$42$	-	$35 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3375$
			+	$35 x^{2}$	-	$\frac{245 x}{3}$
					-	$\frac{245 x}{3}$	+	$3375$

Этап 5.10

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- \frac{245 x}{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $18 x$ .

			-	$\frac{35 x}{18}$	-	$\frac{245}{54}$
$18 x$	-	$42$	-	$35 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3375$
			+	$35 x^{2}$	-	$\frac{245 x}{3}$
					-	$\frac{245 x}{3}$	+	$3375$

Этап 5.11

Умножим новое частное на делитель.

			-	$\frac{35 x}{18}$	-	$\frac{245}{54}$
$18 x$	-	$42$	-	$35 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3375$
			+	$35 x^{2}$	-	$\frac{245 x}{3}$
					-	$\frac{245 x}{3}$	+	$3375$
					-	$\frac{245 x}{3}$	+	$\frac{1715}{9}$

Этап 5.12

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- \frac{245 x}{3} + \frac{1715}{9}$ .

			-	$\frac{35 x}{18}$	-	$\frac{245}{54}$
$18 x$	-	$42$	-	$35 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3375$
			+	$35 x^{2}$	-	$\frac{245 x}{3}$
					-	$\frac{245 x}{3}$	+	$3375$
					+	$\frac{245 x}{3}$	-	$\frac{1715}{9}$

Этап 5.13

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$\frac{35 x}{18}$	-	$\frac{245}{54}$
$18 x$	-	$42$	-	$35 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3375$
			+	$35 x^{2}$	-	$\frac{245 x}{3}$
					-	$\frac{245 x}{3}$	+	$3375$
					+	$\frac{245 x}{3}$	-	$\frac{1715}{9}$
							+	$\frac{28660}{9}$

Этап 5.14

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$- \frac{35 x}{18} - \frac{245}{54} + \frac{28660}{9 (18 x - 42)}$

Этап 5.15

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = - \frac{35 x}{18} - \frac{245}{54}$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{7}{3}$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = - \frac{35 x}{18} - \frac{245}{54}$

Этап 7