Основы алгебры Примеры

$\frac{\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 4 x}}{\frac{4 x - 8}{x - 3}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{(x + 3) (x - 3)}{4 x (x - 4)}$ не определено.

$x = 0, x = 4$

Этап 2

Поскольку $\frac{(x + 3) (x - 3)}{4 x (x - 4)}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $0$ слева, а $\frac{(x + 3) (x - 3)}{4 x (x - 4)}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $0$ справа, то $x = 0$ — вертикальная асимптота.

$x = 0$

Этап 3

Поскольку $\frac{(x + 3) (x - 3)}{4 x (x - 4)}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $4$ слева, а $\frac{(x + 3) (x - 3)}{4 x (x - 4)}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $4$ справа, то $x = 4$ — вертикальная асимптота.

$x = 4$

Этап 4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = 0, 4$

Этап 5

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 6

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 2$

Этап 7

Поскольку $n = m$ , горизонтальной асимптотой является прямая $y = \frac{a}{b}$ , где $a = 1$ и $b = 4$ .

$y = \frac{1}{4}$

Этап 8

Наклонной асимптоты нет, поскольку степень числителя меньше или равна степени знаменателя.

Нет наклонных асимптот

Этап 9

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 0, 4$

Горизонтальные асимптоты: $y = \frac{1}{4}$

Нет наклонных асимптот

Этап 10