Основы алгебры Примеры

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{24} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{24} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 5$

$b = 2 \sqrt{6}$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 0)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(2 \sqrt{6})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 - {(2 \sqrt{6})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Применим правило умножения к $2 \sqrt{6}$ .

$\sqrt{25 - (2^{2} {\sqrt{6}}^{2})}$

Этап 5.3.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 - (4 {\sqrt{6}}^{2})}$

Этап 5.3.2

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 - (4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 - (4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Этап 5.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{25 - (4 \cdot 6^{\frac{2}{2}})}$

Этап 5.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{25 - (4 \cdot 6^{\frac{2}{2}})}$

Этап 5.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{25 - (4 \cdot 6^{1})}$

Этап 5.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{25 - (4 \cdot 6)}$

Этап 5.3.3

Умножим $- (4 \cdot 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $4$ на $6$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 24}$

Этап 5.3.3.2

Умножим $- 1$ на $24$ .

$\sqrt{25 - 24}$

Этап 5.3.4

Вычтем $24$ из $25$ .

$\sqrt{1}$

Этап 5.3.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$1$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0 + 5, 0)$

Этап 6.3

Упростим.

$(5, 0)$

Этап 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.5

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0 - (5), 0)$

Этап 6.6

Упростим.

$(- 5, 0)$

Этап 6.7

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0 + 1, 0)$

Этап 7.3

Упростим.

$(1, 0)$

Этап 7.4

Второй фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.5

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0 - (1), 0)$

Этап 7.6

Упростим.

$(- 1, 0)$

Этап 7.7

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(1, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(1, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 0)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(2 \sqrt{6})}^{2}}}{5}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - {(2 \sqrt{6})}^{2}}}{5}$

Этап 8.3.2

Применим правило умножения к $2 \sqrt{6}$ .

$\frac{\sqrt{25 - (2^{2} {\sqrt{6}}^{2})}}{5}$

Этап 8.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - (4 {\sqrt{6}}^{2})}}{5}$

Этап 8.3.4

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{25 - (4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{5}$

Этап 8.3.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{25 - (4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{5}$

Этап 8.3.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - (4 \cdot 6^{\frac{2}{2}})}}{5}$

Этап 8.3.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{25 - (4 \cdot 6^{\frac{2}{2}})}}{5}$

Этап 8.3.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{25 - (4 \cdot 6^{1})}}{5}$

Этап 8.3.4.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{25 - (4 \cdot 6)}}{5}$

Этап 8.3.5

Умножим $- (4 \cdot 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.1

Умножим $4$ на $6$ .

$\frac{\sqrt{25 - 1 \cdot 24}}{5}$

Этап 8.3.5.2

Умножим $- 1$ на $24$ .

$\frac{\sqrt{25 - 24}}{5}$

Этап 8.3.6

Вычтем $24$ из $25$ .

$\frac{\sqrt{1}}{5}$

Этап 8.3.7

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{5}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(1, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 0)$

Эксцентриситет: $\frac{1}{5}$

Этап 10