Основы алгебры Примеры

$| 4 x + 3 | < 1$

Этап 1

Запишем $| 4 x + 3 | < 1$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$4 x + 3 \geq 0$

Этап 1.2

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$4 x \geq - 3$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $4 x \geq - 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $4 x \geq - 3$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 3}{4}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 3}{4}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{- 3}{4}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x \geq - \frac{3}{4}$

Этап 1.3

В части, где $4 x + 3$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$4 x + 3 < 1$

Этап 1.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$4 x + 3 < 0$

Этап 1.5

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$4 x < - 3$

Этап 1.5.2

Разделим каждый член $4 x < - 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Разделим каждый член $4 x < - 3$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} < \frac{- 3}{4}$

Этап 1.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} < \frac{- 3}{4}$

Этап 1.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{- 3}{4}$

Этап 1.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x < - \frac{3}{4}$

Этап 1.6

В части, где $4 x + 3$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- (4 x + 3) < 1$

Этап 1.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} 4 x + 3 < 1 & x \geq - \frac{3}{4} \\ - (4 x + 3) < 1 & x < - \frac{3}{4} \end{cases}$

Этап 1.8

Упростим $- (4 x + 3) < 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} 4 x + 3 < 1 & x \geq - \frac{3}{4} \\ - (4 x) - 1 \cdot 3 < 1 & x < - \frac{3}{4} \end{cases}$

Этап 1.8.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

${\begin{cases} 4 x + 3 < 1 & x \geq - \frac{3}{4} \\ - 4 x - 1 \cdot 3 < 1 & x < - \frac{3}{4} \end{cases}$

Этап 1.8.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

${\begin{cases} 4 x + 3 < 1 & x \geq - \frac{3}{4} \\ - 4 x - 3 < 1 & x < - \frac{3}{4} \end{cases}$

Этап 2

Решим $4 x + 3 < 1$ , когда $x \geq - \frac{3}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим $4 x + 3 < 1$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$4 x < 1 - 3$

Этап 2.1.1.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$4 x < - 2$

Этап 2.1.2

Разделим каждый член $4 x < - 2$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разделим каждый член $4 x < - 2$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} < \frac{- 2}{4}$

Этап 2.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} < \frac{- 2}{4}$

Этап 2.1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{- 2}{4}$

Этап 2.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$x < \frac{2 (- 1)}{4}$

Этап 2.1.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x < \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Этап 2.1.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x < \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Этап 2.1.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x < \frac{- 1}{2}$

Этап 2.1.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x < - \frac{1}{2}$

Этап 2.2

Найдем пересечение $x < - \frac{1}{2}$ и $x \geq - \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} \leq x < - \frac{1}{2}$

Этап 3

Решим $- 4 x - 3 < 1$ , когда $x < - \frac{3}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим $- 4 x - 3 < 1$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Добавим $3$ к обеим частям неравенства.

$- 4 x < 1 + 3$

Этап 3.1.1.2

Добавим $1$ и $3$ .

$- 4 x < 4$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $- 4 x < 4$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $- 4 x < 4$ на $- 4$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 4 x}{- 4} > \frac{4}{- 4}$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x}{- 4} > \frac{4}{- 4}$

Этап 3.1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{4}{- 4}$

Этап 3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Разделим $4$ на $- 4$ .

$x > - 1$

Этап 3.2

Найдем пересечение $x > - 1$ и $x < - \frac{3}{4}$ .

$- 1 < x < - \frac{3}{4}$

Этап 4

Найдем объединение решений.

$- 1 < x < - \frac{1}{2}$

Этап 5