Основы алгебры Примеры

$| \frac{2 x - 1}{x} | < 2$

Этап 1

Запишем $| \frac{2 x - 1}{x} | < 2$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$\frac{2 x - 1}{x} \geq 0$

Этап 1.2

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

Этап 1.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 1.2.4

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = \frac{1}{2}$

Этап 1.2.5

Объединим решения.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Этап 1.2.6

Найдем область определения $| \frac{2 x - 1}{x} | - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x - 1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 1.2.6.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 1.2.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Этап 1.2.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 1.2.8.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (- 2) - 1}{- 2} \geq 0$

Этап 1.2.8.1.3

Левая часть $2.5$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.2.8.2

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.25$

Этап 1.2.8.2.2

Заменим $x$ на $0.25$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (0.25) - 1}{0.25} \geq 0$

Этап 1.2.8.2.3

Левая часть $- 2$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.2.8.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 1.2.8.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (3) - 1}{3} \geq 0$

Этап 1.2.8.3.3

Левая часть $1.\overline{6}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.2.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Истина

$0 < x < \frac{1}{2}$ Ложь

$x > \frac{1}{2}$ Истина

$x < 0$ Истина

$0 < x < \frac{1}{2}$ Ложь

$x > \frac{1}{2}$ Истина

Этап 1.2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 0$ или $x \geq \frac{1}{2}$

Этап 1.3

В части, где $\frac{2 x - 1}{x}$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$\frac{2 x - 1}{x} < 2$

Этап 1.4

Найдем область определения $\frac{2 x - 1}{x} < 2$ и пересечение с $x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем область определения $\frac{2 x - 1}{x} < 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x - 1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 1.4.1.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 1.4.2

Найдем пересечение $x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$ и $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$

Этап 1.5

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$\frac{2 x - 1}{x} < 0$

Этап 1.6

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

Этап 1.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 1.6.3

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 1.6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 1.6.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 1.6.4

$x = 0$

$x = \frac{1}{2}$

Этап 1.6.5

Объединим решения.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Этап 1.6.6

Найдем область определения $| \frac{2 x - 1}{x} | - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.6.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x - 1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 1.6.6.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 1.6.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Этап 1.6.8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.8.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 1.6.8.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (- 2) - 1}{- 2} < 0$

Этап 1.6.8.1.3

Левая часть $2.5$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.6.8.2

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.8.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.25$

Этап 1.6.8.2.2

Заменим $x$ на $0.25$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (0.25) - 1}{0.25} < 0$

Этап 1.6.8.2.3

Левая часть $- 2$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.6.8.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 1.6.8.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (3) - 1}{3} < 0$

Этап 1.6.8.3.3

Левая часть $1.\overline{6}$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.6.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < \frac{1}{2}$ Истина

$x > \frac{1}{2}$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < \frac{1}{2}$ Истина

$x > \frac{1}{2}$ Ложь

Этап 1.6.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x < \frac{1}{2}$

Этап 1.7

В части, где $\frac{2 x - 1}{x}$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- \frac{2 x - 1}{x} < 2$

Этап 1.8

Найдем область определения $- \frac{2 x - 1}{x} < 2$ и пересечение с $0 < x < \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Найдем область определения $- \frac{2 x - 1}{x} < 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x - 1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 1.8.1.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 1.8.2

Найдем пересечение $0 < x < \frac{1}{2}$ и $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$0 < x < \frac{1}{2}$

Этап 1.9

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} \frac{2 x - 1}{x} < 2 & x < 0 or x \geq \frac{1}{2} \\ - \frac{2 x - 1}{x} < 2 & 0 < x < \frac{1}{2} \end{cases}$

Этап 2

Решим $\frac{2 x - 1}{x} < 2$ , когда $x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим $\frac{2 x - 1}{x} < 2$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$\frac{2 x - 1}{x} - 2 < 0$

Этап 2.1.2

Упростим $\frac{2 x - 1}{x} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 x - 1}{x} - 2 \cdot \frac{x}{x} < 0$

Этап 2.1.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 x - 1}{x} + \frac{- 2 x}{x} < 0$

Этап 2.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x - 1 - 2 x}{x} < 0$

Этап 2.1.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{0 - 1}{x} < 0$

Этап 2.1.2.4.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{- 1}{x} < 0$

Этап 2.1.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{x} < 0$

Этап 2.1.3

$x = 0$

Этап 2.1.4

Найдем область определения $- \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 2.1.4.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 2.1.5

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x > 0$

Этап 2.2

Найдем пересечение $x > 0$ и $x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$ .

$x \geq \frac{1}{2}$

Этап 3

Решим $- \frac{2 x - 1}{x} < 2$ , когда $0 < x < \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим $- \frac{2 x - 1}{x} < 2$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$- \frac{2 x - 1}{x} - 2 < 0$

Этап 3.1.2

Упростим $- \frac{2 x - 1}{x} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{2 x - 1}{x} - 2 \cdot \frac{x}{x} < 0$

Этап 3.1.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{2 x - 1}{x} + \frac{- 2 x}{x} < 0$

Этап 3.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- (2 x - 1) - 2 x}{x} < 0$

Этап 3.1.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- (2 x) - - 1 - 2 x}{x} < 0$

Этап 3.1.2.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 x - - 1 - 2 x}{x} < 0$

Этап 3.1.2.4.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 x + 1 - 2 x}{x} < 0$

Этап 3.1.2.4.4

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$\frac{- 4 x + 1}{x} < 0$

Этап 3.1.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x$ .

$\frac{- (4 x) + 1}{x} < 0$

Этап 3.1.2.6

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (4 x) - 1 (- 1)}{x} < 0$

Этап 3.1.2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (4 x - 1)}{x} < 0$

Этап 3.1.2.8

Перепишем $- (4 x - 1)$ в виде $- 1 (4 x - 1)$ .

$\frac{- 1 (4 x - 1)}{x} < 0$

Этап 3.1.2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4 x - 1}{x} < 0$

Этап 3.1.3

$x = 0$

$4 x - 1 = 0$

Этап 3.1.4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 1$

Этап 3.1.5

Разделим каждый член $4 x = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Разделим каждый член $4 x = 1$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 3.1.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 3.1.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Этап 3.1.6

$x = 0$

$x = \frac{1}{4}$

Этап 3.1.7

Объединим решения.

$x = 0, \frac{1}{4}$

Этап 3.1.8

Найдем область определения $- \frac{4 x - 1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.8.1

Зададим знаменатель в $\frac{4 x - 1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 3.1.8.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 3.1.9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{4}$

$x > \frac{1}{4}$

Этап 3.1.10

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.10.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.10.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 3.1.10.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$- \frac{2 (- 2) - 1}{- 2} < 2$

Этап 3.1.10.1.3

Левая часть $- 2.5$ меньше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 3.1.10.2

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{1}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.10.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{1}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.12$

Этап 3.1.10.2.2

Заменим $x$ на $0.12$ в исходном неравенстве.

$- \frac{2 (0.12) - 1}{0.12} < 2$

Этап 3.1.10.2.3

Левая часть $6.\overline{3}$ не меньше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 3.1.10.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{1}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.10.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{1}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 3.1.10.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$- \frac{2 (3) - 1}{3} < 2$

Этап 3.1.10.3.3

Левая часть $- 1.\overline{6}$ меньше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 3.1.10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Истина

$0 < x < \frac{1}{4}$ Ложь

$x > \frac{1}{4}$ Истина

$x < 0$ Истина

$0 < x < \frac{1}{4}$ Ложь

$x > \frac{1}{4}$ Истина

Этап 3.1.11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 0$ или $x > \frac{1}{4}$

Этап 3.2

Найдем пересечение $x < 0 or x > \frac{1}{4}$ и $0 < x < \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$

Этап 4

Найдем объединение решений.

$x > \frac{1}{4}$

Этап 5

Найдем область определения $| \frac{2 x - 1}{x} | - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x - 1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 5.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x > \frac{1}{4}$

Этап 7