Основы алгебры Примеры

$\frac{y^{2} - 2 y + 1}{2 y - 3}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{{(y - 1)}^{2}}{2 y - 3}$ не определено.

$y = \frac{3}{2}$

Этап 2

$x = \frac{{(y - 1)}^{2}}{2 y - 3}$ — уравнение прямой, поэтому горизонтальных асимптот не существует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 3

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 1^{2}}{2 y - 3}$

Этап 3.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 y = 2 \cdot y \cdot 1$

Этап 3.1.3

Перепишем многочлен.

$\frac{y^{2} - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^{2}}{2 y - 3}$

Этап 3.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = y$ и $b = 1$ .

$\frac{{(y - 1)}^{2}}{2 y - 3}$

Этап 3.2

Развернем ${(y - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем ${(y - 1)}^{2}$ в виде $(y - 1) (y - 1)$ .

$\frac{(y - 1) (y - 1)}{2 y - 3}$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y (y - 1) - 1 (y - 1)}{2 y - 3}$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 (y - 1)}{2 y - 3}$

Этап 3.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1}{2 y - 3}$

Этап 3.2.5

Изменим порядок $y$ и $- 1$ .

$\frac{y \cdot y - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{2 y - 3}$

Этап 3.2.6

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{y \cdot y - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{2 y - 3}$

Этап 3.2.7

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{y \cdot y - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{2 y - 3}$

Этап 3.2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y^{1 + 1} - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{2 y - 3}$

Этап 3.2.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{y^{2} - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{2 y - 3}$

Этап 3.2.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 1 y - 1 y + 1}{2 y - 3}$

Этап 3.2.11

Вычтем $1 y$ из $- 1 y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 1}{2 y - 3}$

Этап 3.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 y$

$3$

$y^{2}$

$2 y$

$1$

Этап 3.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $y^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 y$ .

					$\frac{y}{2}$
	$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$

Этап 3.5

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{y}{2}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	-	$\frac{3 y}{2}$

Этап 3.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $y^{2} - \frac{3 y}{2}$ .

				$\frac{y}{2}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$\frac{3 y}{2}$

Этап 3.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{y}{2}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$\frac{3 y}{2}$
					-	$\frac{y}{2}$

Этап 3.8

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$\frac{y}{2}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$\frac{3 y}{2}$
					-	$\frac{y}{2}$	+	$1$

Этап 3.9

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- \frac{y}{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 y$ .

				$\frac{y}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$\frac{3 y}{2}$
					-	$\frac{y}{2}$	+	$1$

Этап 3.10

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{y}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$\frac{3 y}{2}$
					-	$\frac{y}{2}$	+	$1$
					-	$\frac{y}{2}$	+	$\frac{3}{4}$

Этап 3.11

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- \frac{y}{2} + \frac{3}{4}$ .

				$\frac{y}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$\frac{3 y}{2}$
					-	$\frac{y}{2}$	+	$1$
					+	$\frac{y}{2}$	-	$\frac{3}{4}$

Этап 3.12

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{y}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$\frac{3 y}{2}$
					-	$\frac{y}{2}$	+	$1$
					+	$\frac{y}{2}$	-	$\frac{3}{4}$
							+	$\frac{1}{4}$

Этап 3.13

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\frac{y}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 (2 y - 3)}$

Этап 3.14

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = \frac{y}{2} - \frac{1}{4}$

Этап 4

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $y = \frac{3}{2}$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = \frac{y}{2} - \frac{1}{4}$

Этап 5