Основы алгебры Примеры

$| 7 x - 1 | + 9$

Этап 1

Найдем вершину функции абсолютного значения. В этом случае вершина $y = | 7 x - 1 | + 9$ лежит в точке $(\frac{1}{7}, 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти координату $x$ вершины, зададим абсолютное значение $7 x - 1$ равным $0$ . В данном случае $7 x - 1 = 0$ .

$7 x - 1 = 0$

Этап 1.2

Решим уравнение $7 x - 1 = 0$ , чтобы найти координату $x$ вершины графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$7 x = 1$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $7 x = 1$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $7 x = 1$ на $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{7}$

Этап 1.3

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{7}$ .

$y = | 7 (\frac{1}{7}) - 1 | + 9$

Этап 1.4

Упростим $| 7 (\frac{1}{7}) - 1 | + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y = | 7 (\frac{1}{7}) - 1 | + 9$

Этап 1.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = | 1 - 1 | + 9$

Этап 1.4.1.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$y = | 0 | + 9$

Этап 1.4.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$y = 0 + 9$

Этап 1.4.2

Добавим $0$ и $9$ .

$y = 9$

Этап 1.5

Вершина графика абсолютного значения находится в точке $(\frac{1}{7}, 9)$ .

$(\frac{1}{7}, 9)$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

Для каждого значения $x$ имеется одно значение $y$ . Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения, находящиеся вблизи значения $x$ , являющегося вершиной графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим значение $x$ $- 2$ в $f (x) = | 7 x - 1 | + 9$ . В данном случае получится точка $(- 2, 24)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = | 7 (- 2) - 1 | + 9$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Умножим $7$ на $- 2$ .

$f (- 2) = | - 14 - 1 | + 9$

Этап 3.1.2.1.2

Вычтем $1$ из $- 14$ .

$f (- 2) = | - 15 | + 9$

Этап 3.1.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 15$ и $0$ равно $15$ .

$f (- 2) = 15 + 9$

Этап 3.1.2.2

Добавим $15$ и $9$ .

$f (- 2) = 24$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $24$ .

$y = 24$

Этап 3.2

Подставим значение $x$ $- 1$ в $f (x) = | 7 x - 1 | + 9$ . В данном случае получится точка $(- 1, 17)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = | 7 (- 1) - 1 | + 9$

Этап 3.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Умножим $7$ на $- 1$ .

$f (- 1) = | - 7 - 1 | + 9$

Этап 3.2.2.1.2

Вычтем $1$ из $- 7$ .

$f (- 1) = | - 8 | + 9$

Этап 3.2.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 8$ и $0$ равно $8$ .

$f (- 1) = 8 + 9$

Этап 3.2.2.2

Добавим $8$ и $9$ .

$f (- 1) = 17$

Этап 3.2.2.3

Окончательный ответ: $17$ .

$y = 17$

Этап 3.3

Подставим значение $x$ $0$ в $f (x) = | 7 x - 1 | + 9$ . В данном случае получится точка $(0, 10)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = | 7 (0) - 1 | + 9$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Умножим $7$ на $0$ .

$f (0) = | 0 - 1 | + 9$

Этап 3.3.2.1.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$f (0) = | - 1 | + 9$

Этап 3.3.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 1$ и $0$ равно $1$ .

$f (0) = 1 + 9$

Этап 3.3.2.2

Добавим $1$ и $9$ .

$f (0) = 10$

Этап 3.3.2.3

Окончательный ответ: $10$ .

$y = 10$

Этап 3.4

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = | 7 x - 1 | + 9$ . В данном случае получится точка $(1, 15)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = | 7 (1) - 1 | + 9$

Этап 3.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим $7$ на $1$ .

$f (1) = | 7 - 1 | + 9$

Этап 3.4.2.1.2

Вычтем $1$ из $7$ .

$f (1) = | 6 | + 9$

Этап 3.4.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $6$ равно $6$ .

$f (1) = 6 + 9$

Этап 3.4.2.2

Добавим $6$ и $9$ .

$f (1) = 15$

Этап 3.4.2.3

Окончательный ответ: $15$ .

$y = 15$

Этап 3.5

График функции абсолютного значения можно построить по точкам около вершины $(\frac{1}{7}, 9), (- 2, 24), (- 1, 17), (0, 10), (1, 15)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 24 \\ - 1 & 17 \\ 0 & 10 \\ \frac{1}{7} & 9 \\ 1 & 15 \end{array}$

Этап 4