Основы алгебры Примеры

$\frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 4 x - 5) - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Этап 1

Упростим $\frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 4 x - 5) - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} (4 x) + \frac{1}{2} \cdot - 5 - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Этап 1.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (4 x) + \frac{1}{2} \cdot - 5 - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Этап 1.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (2 x)) + \frac{1}{2} \cdot - 5 - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Этап 1.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (2 x)) + \frac{1}{2} \cdot - 5 - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Этап 1.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{1}{2} \cdot - 5 - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Этап 1.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 5$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{- 5}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Этап 1.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Этап 1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot 4 - 5$

Этап 1.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (2)) - 5$

Этап 1.1.4.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 5$

Этап 1.1.4.4

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} - 1 \cdot 2 - 5$

Этап 1.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} - 2 - 5$

Этап 1.2

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} - 5$

Этап 1.3

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - 5$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{- 5 - 2 \cdot 2}{2} - 5$

Этап 1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{- 5 - 4}{2} - 5$

Этап 1.5.2

Вычтем $4$ из $- 5$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{- 9}{2} - 5$

Этап 1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{9}{2} - 5$

Этап 1.7

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{9}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.8

Объединим $- 5$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{9}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2}$

Этап 1.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{- 9 - 5 \cdot 2}{2}$

Этап 1.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Умножим $- 5$ на $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{- 9 - 10}{2}$

Этап 1.10.2

Вычтем $10$ из $- 9$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{- 19}{2}$

Этап 1.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{19}{2}$

Этап 2

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Составим полный квадрат для $\frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{19}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = 2$

$c = - \frac{19}{2}$

Этап 2.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 2.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 2.1.1.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Этап 2.1.1.3.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = 1 \cdot 2$

Этап 2.1.1.3.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$d = 2$

Этап 2.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{19}{2} - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Этап 2.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$e = - \frac{19}{2} - \frac{4}{4 (\frac{1}{2})}$

Этап 2.1.1.4.2.1.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{19}{2} - \frac{4}{\frac{4}{2}}$

Этап 2.1.1.4.2.1.3

Разделим $4$ на $2$ .

$e = - \frac{19}{2} - \frac{4}{2}$

Этап 2.1.1.4.2.1.4

Разделим $4$ на $2$ .

$e = - \frac{19}{2} - 1 \cdot 2$

Этап 2.1.1.4.2.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$e = - \frac{19}{2} - 2$

Этап 2.1.1.4.2.2

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$e = - \frac{19}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 2.1.1.4.2.3

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$e = - \frac{19}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Этап 2.1.1.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{- 19 - 2 \cdot 2}{2}$

Этап 2.1.1.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.5.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$e = \frac{- 19 - 4}{2}$

Этап 2.1.1.4.2.5.2

Вычтем $4$ из $- 19$ .

$e = \frac{- 23}{2}$

Этап 2.1.1.4.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = - \frac{23}{2}$

Этап 2.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $\frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - \frac{23}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - \frac{23}{2}$

Этап 2.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{2} - \frac{23}{2}$

Этап 2.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = - 2$

$k = - \frac{23}{2}$

Этап 2.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 2.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 2, - \frac{23}{2})$

Этап 2.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 2.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Этап 2.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Этап 2.5.3.2

Разделим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 2.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 2.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 2, - 11)$

Этап 2.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = - 2$

Этап 2.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 2.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - 12$

Этап 2.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- 2, - \frac{23}{2})$

Фокус: $(- 2, - 11)$

Ось симметрии: $x = - 2$

Директриса: $y = - 12$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- 2, - \frac{23}{2})$

Фокус: $(- 2, - 11)$

Ось симметрии: $x = - 2$

Директриса: $y = - 12$

Этап 3

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{2} + 2 (- 3) - \frac{19}{2}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 3) = 2 (- 3) + \frac{{(- 3)}^{2} - 19}{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f (- 3) = 2 (- 3) + \frac{9 - 19}{2}$

Этап 3.2.1.2.2

Вычтем $19$ из $9$ .

$f (- 3) = 2 (- 3) + \frac{- 10}{2}$

Этап 3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f (- 3) = - 6 + \frac{- 10}{2}$

Этап 3.2.2.2

Разделим $- 10$ на $2$ .

$f (- 3) = - 6 - 5$

Этап 3.2.3

Вычтем $5$ из $- 6$ .

$f (- 3) = - 11$

Этап 3.2.4

Окончательный ответ: $- 11$ .

$- 11$

Этап 3.3

Значение $y$ при $x = - 3$ равно $- 11$ .

$y = - 11$

Этап 3.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{2}}{2} + 2 (- 4) - \frac{19}{2}$

Этап 3.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 4) = 2 (- 4) + \frac{{(- 4)}^{2} - 19}{2}$

Этап 3.5.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f (- 4) = 2 (- 4) + \frac{16 - 19}{2}$

Этап 3.5.1.2.2

Вычтем $19$ из $16$ .

$f (- 4) = 2 (- 4) + \frac{- 3}{2}$

Этап 3.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Умножим $2$ на $- 4$ .

$f (- 4) = - 8 + \frac{- 3}{2}$

Этап 3.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 4) = - 8 - \frac{3}{2}$

Этап 3.5.3

Чтобы записать $- 8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- 4) = - 8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Этап 3.5.4

Объединим $- 8$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (- 4) = \frac{- 8 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Этап 3.5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 4) = \frac{- 8 \cdot 2 - 3}{2}$

Этап 3.5.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

Умножим $- 8$ на $2$ .

$f (- 4) = \frac{- 16 - 3}{2}$

Этап 3.5.6.2

Вычтем $3$ из $- 16$ .

$f (- 4) = \frac{- 19}{2}$

Этап 3.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 4) = - \frac{19}{2}$

Этап 3.5.8

Окончательный ответ: $- \frac{19}{2}$ .

$- \frac{19}{2}$

Этап 3.6

Значение $y$ при $x = - 4$ равно $- \frac{19}{2}$ .

$y = - \frac{19}{2}$

Этап 3.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + 2 (- 1) - \frac{19}{2}$

Этап 3.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 1) = 2 (- 1) + \frac{{(- 1)}^{2} - 19}{2}$

Этап 3.8.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = 2 (- 1) + \frac{1 - 19}{2}$

Этап 3.8.1.2.2

Вычтем $19$ из $1$ .

$f (- 1) = 2 (- 1) + \frac{- 18}{2}$

Этап 3.8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 + \frac{- 18}{2}$

Этап 3.8.2.2

Разделим $- 18$ на $2$ .

$f (- 1) = - 2 - 9$

Этап 3.8.3

Вычтем $9$ из $- 2$ .

$f (- 1) = - 11$

Этап 3.8.4

Окончательный ответ: $- 11$ .

$- 11$

Этап 3.9

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $- 11$ .

$y = - 11$

Этап 3.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{2} + 2 (1) - \frac{19}{2}$

Этап 3.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (1) = 2 (1) + \frac{{(1)}^{2} - 19}{2}$

Этап 3.11.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 2 (1) + \frac{1 - 19}{2}$

Этап 3.11.1.2.2

Вычтем $19$ из $1$ .

$f (1) = 2 (1) + \frac{- 18}{2}$

Этап 3.11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$f (1) = 2 + \frac{- 18}{2}$

Этап 3.11.2.2

Разделим $- 18$ на $2$ .

$f (1) = 2 - 9$

Этап 3.11.3

Вычтем $9$ из $2$ .

$f (1) = - 7$

Этап 3.11.4

Окончательный ответ: $- 7$ .

$- 7$

Этап 3.12

Значение $y$ при $x = 1$ равно $- 7$ .

$y = - 7$

Этап 3.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - \frac{19}{2} \\ - 3 & - 11 \\ - 2 & - \frac{23}{2} \\ - 1 & - 11 \\ 1 & - 7 \end{array}$

Этап 4

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- 2, - \frac{23}{2})$

Фокус: $(- 2, - 11)$

Ось симметрии: $x = - 2$

Директриса: $y = - 12$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - \frac{19}{2} \\ - 3 & - 11 \\ - 2 & - \frac{23}{2} \\ - 1 & - 11 \\ 1 & - 7 \end{array}$

Этап 5