Основы алгебры Примеры

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x - 2}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x - 2}$ не определено.

$x = 2$

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 4

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 1$

Этап 5

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 6

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x$

$6$

Этап 6.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$

Этап 6.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 6.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 6.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Этап 6.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$5 x$

Этап 6.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$5 x$

Этап 6.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

Этап 6.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{2} - 8 x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Этап 6.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$3 x$

Этап 6.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$3 x$	-	$6$

Этап 6.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$3$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$3 x$	-	$6$

Этап 6.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$3$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$3 x$	-	$6$
							+	$3 x$	-	$6$

Этап 6.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x - 6$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$3$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$3 x$	-	$6$
							-	$3 x$	+	$6$

Этап 6.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$3$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$3 x$	-	$6$
							-	$3 x$	+	$6$
										$0$

Этап 6.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 4 x + 3$

Этап 6.17

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = x^{2} + 4 x$

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = x^{2} + 4 x$

Этап 8