Основы алгебры Примеры

${(x + 15)}^{2}$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 1$

$h = - 15$

$k = 0$

Этап 1.2

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 15, 0)$

Этап 1.4

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.4.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 1.5

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.5.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 15, \frac{1}{4})$

Этап 1.6

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = - 15$

Этап 1.7

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.7.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{1}{4}$

Этап 1.8

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- 15, 0)$

Фокус: $(- 15, \frac{1}{4})$

Ось симметрии: $x = - 15$

Директриса: $y = - \frac{1}{4}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- 15, 0)$

Фокус: $(- 15, \frac{1}{4})$

Ось симметрии: $x = - 15$

Директриса: $y = - \frac{1}{4}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 16$ .

$f (- 16) = {(- 16)}^{2} + 30 (- 16) + 225$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведем $- 16$ в степень $2$ .

$f (- 16) = 256 + 30 (- 16) + 225$

Этап 2.2.1.2

Умножим $30$ на $- 16$ .

$f (- 16) = 256 - 480 + 225$

Этап 2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $480$ из $256$ .

$f (- 16) = - 224 + 225$

Этап 2.2.2.2

Добавим $- 224$ и $225$ .

$f (- 16) = 1$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = - 16$ равно $1$ .

$y = 1$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 17$ .

$f (- 17) = {(- 17)}^{2} + 30 (- 17) + 225$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $- 17$ в степень $2$ .

$f (- 17) = 289 + 30 (- 17) + 225$

Этап 2.5.1.2

Умножим $30$ на $- 17$ .

$f (- 17) = 289 - 510 + 225$

Этап 2.5.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $510$ из $289$ .

$f (- 17) = - 221 + 225$

Этап 2.5.2.2

Добавим $- 221$ и $225$ .

$f (- 17) = 4$

Этап 2.5.3

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = - 17$ равно $4$ .

$y = 4$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 14$ .

$f (- 14) = {(- 14)}^{2} + 30 (- 14) + 225$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведем $- 14$ в степень $2$ .

$f (- 14) = 196 + 30 (- 14) + 225$

Этап 2.8.1.2

Умножим $30$ на $- 14$ .

$f (- 14) = 196 - 420 + 225$

Этап 2.8.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Вычтем $420$ из $196$ .

$f (- 14) = - 224 + 225$

Этап 2.8.2.2

Добавим $- 224$ и $225$ .

$f (- 14) = 1$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = - 14$ равно $1$ .

$y = 1$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 13$ .

$f (- 13) = {(- 13)}^{2} + 30 (- 13) + 225$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Возведем $- 13$ в степень $2$ .

$f (- 13) = 169 + 30 (- 13) + 225$

Этап 2.11.1.2

Умножим $30$ на $- 13$ .

$f (- 13) = 169 - 390 + 225$

Этап 2.11.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Вычтем $390$ из $169$ .

$f (- 13) = - 221 + 225$

Этап 2.11.2.2

Добавим $- 221$ и $225$ .

$f (- 13) = 4$

Этап 2.11.3

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = - 13$ равно $4$ .

$y = 4$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 17 & 4 \\ - 16 & 1 \\ - 15 & 0 \\ - 14 & 1 \\ - 13 & 4 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- 15, 0)$

Фокус: $(- 15, \frac{1}{4})$

Ось симметрии: $x = - 15$

Директриса: $y = - \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 17 & 4 \\ - 16 & 1 \\ - 15 & 0 \\ - 14 & 1 \\ - 13 & 4 \end{array}$

Этап 4