Основы алгебры Примеры

$\frac{x - 2}{5} + \frac{{(y - 5)}^{2}}{5} = 1$

Этап 1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 2 + {(y - 5)}^{2}}{5} = 1$

Этап 2

Умножим обе части уравнения на $5$ .

$5 \frac{x - 2 + {(y - 5)}^{2}}{5} = 5 \cdot 1$

Этап 3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$5 \frac{x - 2 + {(y - 5)}^{2}}{5} = 5 \cdot 1$

Этап 3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x - 2 + {(y - 5)}^{2} = 5 \cdot 1$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $5$ на $1$ .

$x - 2 + {(y - 5)}^{2} = 5$

Этап 4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x + {(y - 5)}^{2} = 5 + 2$

Этап 4.2

Вычтем ${(y - 5)}^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x = 5 + 2 - {(y - 5)}^{2}$

Этап 4.3

Добавим $5$ и $2$ .

$x = 7 - {(y - 5)}^{2}$

Этап 5

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок $7$ и $- {(y - 5)}^{2}$ .

$x = - {(y - 5)}^{2} + 7$

Этап 5.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 1$

$h = 7$

$k = 5$

Этап 5.3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены влево.

Обращены влево

Этап 5.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(7, 5)$

Этап 5.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 5.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Этап 5.5.3

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Этап 5.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4}$

Этап 5.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате x $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$(h + p, k)$

Этап 5.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{27}{4}, 5)$

Этап 5.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$y = 5$

Этап 5.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Директриса параболы ― это вертикальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из x-координаты вершины $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$x = h - p$

Этап 5.8.2

Подставим известные значения $p$ и $h$ в формулу и упростим.

$x = \frac{29}{4}$

Этап 5.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление: обращены влево

Вершина: $(7, 5)$

Фокус: $(\frac{27}{4}, 5)$

Ось симметрии: $y = 5$

Директриса: $x = \frac{29}{4}$

Направление: обращены влево

Вершина: $(7, 5)$

Фокус: $(\frac{27}{4}, 5)$

Ось симметрии: $y = 5$

Директриса: $x = \frac{29}{4}$

Этап 6

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Подставим значение $x$ $5$ в $f (x) = \sqrt{- x + 7} + 5$ . В данном случае получится точка $(5, 6.41421356)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = \sqrt{- (5) + 7} + 5$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f (5) = \sqrt{- 5 + 7} + 5$

Этап 6.1.2.1.2

Добавим $- 5$ и $7$ .

$f (5) = \sqrt{2} + 5$

Этап 6.1.2.2

Окончательный ответ: $\sqrt{2} + 5$ .

$y = \sqrt{2} + 5$

Этап 6.1.3

Преобразуем $\sqrt{2} + 5$ в десятичное представление.

$= 6.41421356$

Этап 6.2

Подставим значение $x$ $5$ в $f (x) = - \sqrt{- x + 7} + 5$ . В данном случае получится точка $(5, 3.58578643)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = - \sqrt{- (5) + 7} + 5$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f (5) = - \sqrt{- 5 + 7} + 5$

Этап 6.2.2.1.2

Добавим $- 5$ и $7$ .

$f (5) = - \sqrt{2} + 5$

Этап 6.2.2.2

Окончательный ответ: $- \sqrt{2} + 5$ .

$y = - \sqrt{2} + 5$

Этап 6.2.3

Преобразуем $- \sqrt{2} + 5$ в десятичное представление.

$= 3.58578643$

Этап 6.3

Подставим значение $x$ $6$ в $f (x) = \sqrt{- x + 7} + 5$ . В данном случае получится точка $(6, 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f (6) = \sqrt{- (6) + 7} + 5$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$f (6) = \sqrt{- 6 + 7} + 5$

Этап 6.3.2.1.2

Добавим $- 6$ и $7$ .

$f (6) = \sqrt{1} + 5$

Этап 6.3.2.1.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (6) = 1 + 5$

Этап 6.3.2.2

Добавим $1$ и $5$ .

$f (6) = 6$

Этап 6.3.2.3

Окончательный ответ: $6$ .

$y = 6$

Этап 6.3.3

Преобразуем $6$ в десятичное представление.

$= 6$

Этап 6.4

Подставим значение $x$ $6$ в $f (x) = - \sqrt{- x + 7} + 5$ . В данном случае получится точка $(6, 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f (6) = - \sqrt{- (6) + 7} + 5$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$f (6) = - \sqrt{- 6 + 7} + 5$

Этап 6.4.2.1.2

Добавим $- 6$ и $7$ .

$f (6) = - \sqrt{1} + 5$

Этап 6.4.2.1.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (6) = - 1 \cdot 1 + 5$

Этап 6.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (6) = - 1 + 5$

Этап 6.4.2.2

Добавим $- 1$ и $5$ .

$f (6) = 4$

Этап 6.4.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$y = 4$

Этап 6.4.3

Преобразуем $4$ в десятичное представление.

$= 4$

Этап 6.5

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 5 & 6.41 \\ 5 & 3.59 \\ 6 & 6 \\ 6 & 4 \\ 7 & 5 \end{array}$

Этап 7

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление: обращены влево

Вершина: $(7, 5)$

Фокус: $(\frac{27}{4}, 5)$

Ось симметрии: $y = 5$

Директриса: $x = \frac{29}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 5 & 6.41 \\ 5 & 3.59 \\ 6 & 6 \\ 6 & 4 \\ 7 & 5 \end{array}$

Этап 8