Основы алгебры Примеры

$5 \sqrt{5 x + 29} = x + 3$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(5 \sqrt{5 x + 29})}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 x + 29}$ в виде ${(5 x + 29)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(5 {(5 x + 29)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${(5 {(5 x + 29)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило умножения к $5 {(5 x + 29)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5^{2} {({(5 x + 29)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$25 {({(5 x + 29)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Этап 2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(5 x + 29)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 {(5 x + 29)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 3)}^{2}$

Этап 2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$25 {(5 x + 29)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 3)}^{2}$

Этап 2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$25 {(5 x + 29)}^{1} = {(x + 3)}^{2}$

Этап 2.2.1.4

Упростим.

$25 (5 x + 29) = {(x + 3)}^{2}$

Этап 2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$25 (5 x) + 25 \cdot 29 = {(x + 3)}^{2}$

Этап 2.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1

Умножим $5$ на $25$ .

$125 x + 25 \cdot 29 = {(x + 3)}^{2}$

Этап 2.2.1.6.2

Умножим $25$ на $29$ .

$125 x + 725 = {(x + 3)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(x + 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(x + 3)}^{2}$ в виде $(x + 3) (x + 3)$ .

$125 x + 725 = (x + 3) (x + 3)$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(x + 3) (x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$125 x + 725 = x (x + 3) + 3 (x + 3)$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$125 x + 725 = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$125 x + 725 = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$125 x + 725 = x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

Этап 2.3.1.3.1.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$125 x + 725 = x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$125 x + 725 = x^{2} + 3 x + 3 x + 9$

Этап 2.3.1.3.2

Добавим $3 x$ и $3 x$ .

$125 x + 725 = x^{2} + 6 x + 9$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} + 6 x + 9 = 125 x + 725$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $125 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 6 x + 9 - 125 x = 725$

Этап 3.2.2

Вычтем $125 x$ из $6 x$ .

$x^{2} - 119 x + 9 = 725$

Этап 3.3

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $725$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 119 x + 9 - 725 = 0$

Этап 3.3.2

Вычтем $725$ из $9$ .

$x^{2} - 119 x - 716 = 0$

Этап 3.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.5

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 119$ и $c = - 716$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{119 \pm \sqrt{{(- 119)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 716)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $- 119$ в степень $2$ .

$x = \frac{119 \pm \sqrt{14161 - 4 \cdot 1 \cdot - 716}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 716$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{119 \pm \sqrt{14161 - 4 \cdot - 716}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 716$ .

$x = \frac{119 \pm \sqrt{14161 + 2864}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.3

Добавим $14161$ и $2864$ .

$x = \frac{119 \pm \sqrt{17025}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.4

Перепишем $17025$ в виде $5^{2} \cdot 681$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.4.1

Вынесем множитель $25$ из $17025$ .

$x = \frac{119 \pm \sqrt{25 (681)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.4.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \frac{119 \pm \sqrt{5^{2} \cdot 681}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{119 \pm 5 \sqrt{681}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{119 \pm 5 \sqrt{681}}{2}$

Этап 3.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $- 119$ в степень $2$ .

$x = \frac{119 \pm \sqrt{14161 - 4 \cdot 1 \cdot - 716}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 716$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{119 \pm \sqrt{14161 - 4 \cdot - 716}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 716$ .

$x = \frac{119 \pm \sqrt{14161 + 2864}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.3

Добавим $14161$ и $2864$ .

$x = \frac{119 \pm \sqrt{17025}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.4

Перепишем $17025$ в виде $5^{2} \cdot 681$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.4.1

Вынесем множитель $25$ из $17025$ .

$x = \frac{119 \pm \sqrt{25 (681)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.4.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \frac{119 \pm \sqrt{5^{2} \cdot 681}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{119 \pm 5 \sqrt{681}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{119 \pm 5 \sqrt{681}}{2}$

Этап 3.7.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{119 + 5 \sqrt{681}}{2}$

Этап 3.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Возведем $- 119$ в степень $2$ .

$x = \frac{119 \pm \sqrt{14161 - 4 \cdot 1 \cdot - 716}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 716$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{119 \pm \sqrt{14161 - 4 \cdot - 716}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 716$ .

$x = \frac{119 \pm \sqrt{14161 + 2864}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.3

Добавим $14161$ и $2864$ .

$x = \frac{119 \pm \sqrt{17025}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.4

Перепишем $17025$ в виде $5^{2} \cdot 681$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.4.1

Вынесем множитель $25$ из $17025$ .

$x = \frac{119 \pm \sqrt{25 (681)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.4.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \frac{119 \pm \sqrt{5^{2} \cdot 681}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{119 \pm 5 \sqrt{681}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{119 \pm 5 \sqrt{681}}{2}$

Этап 3.8.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{119 - 5 \sqrt{681}}{2}$

Этап 3.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{119 + 5 \sqrt{681}}{2}, \frac{119 - 5 \sqrt{681}}{2}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $5 \sqrt{5 x + 29} = x + 3$ истинным.

$x = \frac{119 + 5 \sqrt{681}}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{119 + 5 \sqrt{681}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 124.73994175 \dots$