Основы алгебры Примеры

$\frac{x - 4}{x} = \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 x^{2} + 27 x + 60}{2 x^{2}}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 27 x + 60$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{x - 4}{x} = \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 (x^{2}) + 27 x + 60}{2 x^{2}}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $27 x$ .

$\frac{x - 4}{x} = \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 (x^{2}) + 3 (9 x) + 60}{2 x^{2}}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $60$ .

$\frac{x - 4}{x} = \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 x^{2} + 3 (9 x) + 3 \cdot 20}{2 x^{2}}$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 3 (9 x)$ .

$\frac{x - 4}{x} = \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 (x^{2} + 9 x) + 3 \cdot 20}{2 x^{2}}$

Этап 1.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2} + 9 x) + 3 \cdot 20$ .

$\frac{x - 4}{x} = \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 (x^{2} + 9 x + 20)}{2 x^{2}}$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разложим $x^{2} + 9 x + 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $20$ , а сумма — $9$ .

$4, 5$

Этап 1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 ((x + 4) (x + 5))}{2 x^{2}}$

Этап 1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, x^{2}, 2 x^{2}$

Этап 2.2

Since $x, x^{2}, 2 x^{2}$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 2$ then find LCM for the variable part $x^{1}, x^{2}, x^{2}$ .

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 2.6

НОК $1, 1, 2$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 2.7

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множители $x^{2}$ — $x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ встречается $2$ раз.

Этап 2.9

НОК $x^{1}, x^{2}, x^{2}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x \cdot x$

Этап 2.10

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2}$

Этап 2.11

НОК $x, x^{2}, 2 x^{2}$ представляет собой произведение числовой части $2$ и переменной части.

$2 x^{2}$

Этап 3

Каждый член в $\frac{x - 4}{x} = \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}}$ умножим на $2 x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{x - 4}{x} = \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}}$ на $2 x^{2}$ .

$\frac{x - 4}{x} (2 x^{2}) = \frac{3}{x^{2}} (2 x^{2}) + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{x - 4}{x} x^{2} = \frac{3}{x^{2}} (2 x^{2}) + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Этап 3.2.2

Объединим $2$ и $\frac{x - 4}{x}$ .

$\frac{2 (x - 4)}{x} x^{2} = \frac{3}{x^{2}} (2 x^{2}) + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{2 (x - 4)}{x} (x \cdot x) = \frac{3}{x^{2}} (2 x^{2}) + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Этап 3.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x - 4)}{x} (x \cdot x) = \frac{3}{x^{2}} (2 x^{2}) + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Этап 3.2.3.3

Перепишем это выражение.

$2 (x - 4) x = \frac{3}{x^{2}} (2 x^{2}) + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Этап 3.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x + 2 \cdot - 4) x = \frac{3}{x^{2}} (2 x^{2}) + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Этап 3.2.5

Умножим $2$ на $- 4$ .

$(2 x - 8) x = \frac{3}{x^{2}} (2 x^{2}) + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Этап 3.2.6

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x \cdot x - 8 x = \frac{3}{x^{2}} (2 x^{2}) + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Этап 3.2.7

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Перенесем $x$ .

$2 (x \cdot x) - 8 x = \frac{3}{x^{2}} (2 x^{2}) + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Этап 3.2.7.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} - 8 x = \frac{3}{x^{2}} (2 x^{2}) + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x^{2} - 8 x = 2 \frac{3}{x^{2}} x^{2} + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Этап 3.3.1.2

Умножим $2 \frac{3}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Объединим $2$ и $\frac{3}{x^{2}}$ .

$2 x^{2} - 8 x = \frac{2 \cdot 3}{x^{2}} x^{2} + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$2 x^{2} - 8 x = \frac{6}{x^{2}} x^{2} + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Этап 3.3.1.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} - 8 x = \frac{6}{x^{2}} x^{2} + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Этап 3.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} - 8 x = 6 + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Этап 3.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x^{2} - 8 x = 6 + 2 \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} x^{2}$

Этап 3.3.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$2 x^{2} - 8 x = 6 + 2 \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 (x^{2})} x^{2}$

Этап 3.3.1.5.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} - 8 x = 6 + 2 \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} x^{2}$

Этап 3.3.1.5.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} - 8 x = 6 + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{x^{2}} x^{2}$

Этап 3.3.1.6

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.6.1

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} - 8 x = 6 + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{x^{2}} x^{2}$

Этап 3.3.1.6.2

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} - 8 x = 6 + 3 (x + 4) (x + 5)$

Этап 3.3.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 8 x = 6 + (3 x + 3 \cdot 4) (x + 5)$

Этап 3.3.1.8

Умножим $3$ на $4$ .

$2 x^{2} - 8 x = 6 + (3 x + 12) (x + 5)$

Этап 3.3.1.9

Развернем $(3 x + 12) (x + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 8 x = 6 + 3 x (x + 5) + 12 (x + 5)$

Этап 3.3.1.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 8 x = 6 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 + 12 (x + 5)$

Этап 3.3.1.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 8 x = 6 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 + 12 x + 12 \cdot 5$

Этап 3.3.1.10

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.10.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.10.1.1.1

Перенесем $x$ .

$2 x^{2} - 8 x = 6 + 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 5 + 12 x + 12 \cdot 5$

Этап 3.3.1.10.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} - 8 x = 6 + 3 x^{2} + 3 x \cdot 5 + 12 x + 12 \cdot 5$

Этап 3.3.1.10.1.2

Умножим $5$ на $3$ .

$2 x^{2} - 8 x = 6 + 3 x^{2} + 15 x + 12 x + 12 \cdot 5$

Этап 3.3.1.10.1.3

Умножим $12$ на $5$ .

$2 x^{2} - 8 x = 6 + 3 x^{2} + 15 x + 12 x + 60$

Этап 3.3.1.10.2

Добавим $15 x$ и $12 x$ .

$2 x^{2} - 8 x = 6 + 3 x^{2} + 27 x + 60$

Этап 3.3.2

Добавим $6$ и $60$ .

$2 x^{2} - 8 x = 3 x^{2} + 27 x + 66$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 8 x - 3 x^{2} = 27 x + 66$

Этап 4.1.2

Вычтем $27 x$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 8 x - 3 x^{2} - 27 x = 66$

Этап 4.1.3

Вычтем $3 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$- x^{2} - 8 x - 27 x = 66$

Этап 4.1.4

Вычтем $27 x$ из $- 8 x$ .

$- x^{2} - 35 x = 66$

Этап 4.2

Вычтем $66$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} - 35 x - 66 = 0$

Этап 4.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} - 35 x - 66$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 35 x - 66 = 0$

Этап 4.3.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 35 x$ .

$- (x^{2}) - (35 x) - 66 = 0$

Этап 4.3.1.3

Перепишем $- 66$ в виде $- 1 (66)$ .

$- (x^{2}) - (35 x) - 1 \cdot 66 = 0$

Этап 4.3.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (35 x)$ .

$- (x^{2} + 35 x) - 1 \cdot 66 = 0$

Этап 4.3.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} + 35 x) - 1 (66)$ .

$- (x^{2} + 35 x + 66) = 0$

Этап 4.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Разложим $x^{2} + 35 x + 66$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $66$ , а сумма — $35$ .

$2, 33$

Этап 4.3.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x + 2) (x + 33)) = 0$

Этап 4.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x + 2) (x + 33) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 33 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 4.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 4.6

Приравняем $x + 33$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x + 33$ к $0$ .

$x + 33 = 0$

Этап 4.6.2

Вычтем $33$ из обеих частей уравнения.

$x = - 33$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x + 2) (x + 33) = 0$ верно.

$x = - 2, - 33$