Основы алгебры Примеры

$x^{4} - 20 x^{2} = - 64$

Этап 1

Добавим $64$ к обеим частям уравнения.

$x^{4} - 20 x^{2} + 64 = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 20 x^{2} + 64 = 0$

Этап 2.2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$u^{2} - 20 u + 64 = 0$

Этап 2.3

Разложим $u^{2} - 20 u + 64$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $64$ , а сумма — $- 20$ .

$- 16, - 4$

Этап 2.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 16) (u - 4) = 0$

Этап 2.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$(x^{2} - 16) (x^{2} - 4) = 0$

Этап 2.5

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$(x^{2} - 4^{2}) (x^{2} - 4) = 0$

Этап 2.6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{2} - 4) = 0$

Этап 2.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Этап 2.8

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$(x + 4) (x - 4) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Этап 2.8.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 4) (x - 4) (x + 2) (x - 2) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 4

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 6

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 7

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 7.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 4) (x - 4) (x + 2) (x - 2) = 0$ верно.

$x = - 4, 4, - 2, 2$