Основы алгебры Примеры

$\frac{1}{4} x^{2} + \frac{41}{4} = 3 x$

Этап 1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{41}{4} = 3 x$

Этап 2

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{41}{4} - 3 x = 0$

Этап 3

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $4$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{41}{4}) + 4 (- 3 x) = 0$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{41}{4}) + 4 (- 3 x) = 0$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} + 4 (\frac{41}{4}) + 4 (- 3 x) = 0$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + 4 (\frac{41}{4}) + 4 (- 3 x) = 0$

Этап 3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} + 41 + 4 (- 3 x) = 0$

Этап 3.2.3

Умножим $- 3$ на $4$ .

$x^{2} + 41 - 12 x = 0$

Этап 3.3

Перенесем $41$ .

$x^{2} - 12 x + 41 = 0$

Этап 4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 12$ и $c = 41$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 41)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $41$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 164}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.3

Вычтем $164$ из $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.4

Перепишем $- 20$ в виде $- 1 (20)$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (20)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.7

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{12 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$

Этап 6.3

Упростим $\frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 6 \pm i \sqrt{5}$

Этап 7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $41$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 164}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.3

Вычтем $164$ из $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.4

Перепишем $- 20$ в виде $- 1 (20)$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (20)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.7

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{12 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$

Этап 7.3

Упростим $\frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 6 \pm i \sqrt{5}$

Этап 7.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 6 + i \sqrt{5}$

Этап 8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.2.2

Умножим $- 4$ на $41$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 164}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.3

Вычтем $164$ из $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.4

Перепишем $- 20$ в виде $- 1 (20)$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (20)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.7

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{12 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$

Этап 8.3

Упростим $\frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 6 \pm i \sqrt{5}$

Этап 8.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 6 - i \sqrt{5}$

Этап 9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 6 + i \sqrt{5}, 6 - i \sqrt{5}$