Основы алгебры Примеры

$2^{X + 3} + 4^{X + 1} - 320 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $2^{X + 3}$ в виде $2^{X} \cdot 2^{3}$ .

$2^{X} \cdot 2^{3} + 4^{X + 1} - 320 = 0$

Этап 1.2

Перепишем $4^{X + 1}$ в виде $4^{X} \cdot 4^{1}$ .

$2^{X} \cdot 2^{3} + 4^{X} \cdot 4 - 320 = 0$

Этап 1.3

Перепишем $2^{X}$ в виде ${(2^{2})}^{X}$ .

$2^{X} \cdot 2^{3} + {(2^{2})}^{X} \cdot 4 - 320 = 0$

Этап 1.4

Перепишем ${(2^{2})}^{X}$ в виде ${(2^{X})}^{2}$ .

$2^{X} \cdot 2^{3} + {(2^{X})}^{2} \cdot 4 - 320 = 0$

Этап 1.5

Пусть $u = 2^{X}$ . Подставим $u$ вместо $2^{X}$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$u \cdot 8 + u^{2} \cdot 4 - 320 = 0$

Этап 1.5.2

Перенесем $8$ влево от $u$ .

$8 u + u^{2} \cdot 4 - 320 = 0$

Этап 1.5.3

Перенесем $4$ влево от $u^{2}$ .

$8 u + 4 u^{2} - 320 = 0$

Этап 1.6

Вынесем множитель $4$ из $8 u + 4 u^{2} - 320$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $8 u$ .

$4 (2 u) + 4 u^{2} - 320 = 0$

Этап 1.6.2

Вынесем множитель $4$ из $4 u^{2}$ .

$4 (2 u) + 4 (u^{2}) - 320 = 0$

Этап 1.6.3

Вынесем множитель $4$ из $- 320$ .

$4 (2 u) + 4 u^{2} + 4 \cdot - 80 = 0$

Этап 1.6.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 u) + 4 u^{2}$ .

$4 (2 u + u^{2}) + 4 \cdot - 80 = 0$

Этап 1.6.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 u + u^{2}) + 4 \cdot - 80$ .

$4 (2 u + u^{2} - 80) = 0$

Этап 1.7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Разложим $2 u + u^{2} - 80$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 80$ , а сумма — $2$ .

$- 8, 10$

Этап 1.7.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$4 ((u - 8) (u + 10)) = 0$

Этап 1.7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (u - 8) (u + 10) = 0$

Этап 1.8

Заменим все вхождения $u$ на $2^{X}$ .

$4 (2^{X} - 8) (2^{X} + 10) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2^{X} - 8 = 0$

$2^{X} + 10 = 0$

Этап 3

Приравняем $2^{X} - 8$ к $0$ , затем решим относительно $X$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $2^{X} - 8$ к $0$ .

$2^{X} - 8 = 0$

Этап 3.2

Решим $2^{X} - 8 = 0$ относительно $X$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$2^{X} = 8$

Этап 3.2.2

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$2^{X} = 2^{3}$

Этап 3.2.3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$X = 3$

Этап 4

Приравняем $2^{X} + 10$ к $0$ , затем решим относительно $X$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $2^{X} + 10$ к $0$ .

$2^{X} + 10 = 0$

Этап 4.2

Решим $2^{X} + 10 = 0$ относительно $X$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$2^{X} = - 10$

Этап 4.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (2^{X}) = \ln (- 10)$

Этап 4.2.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- 10)$ не определено.

Неопределенные

Этап 4.2.4

Нет решения для $2^{X} = - 10$

Нет решения

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (2^{X} - 8) (2^{X} + 10) = 0$ верно.

$X = 3$