Основы алгебры Примеры

$\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{x^{3} - 125}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $125$ в виде $5^{3}$ .

$\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{x^{3} - 5^{3}}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2})}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2})}$

Этап 1.3.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 5, x^{2} + 5 x + 25, (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x - 5$ является само значение $x - 5$ .

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x^{2} + 5 x + 25$ является само значение $x^{2} + 5 x + 25$ .

$(x^{2} + 5 x + 25) = x^{2} + 5 x + 25$

$(x^{2} + 5 x + 25)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x - 5$ является само значение $x - 5$ .

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $x^{2} + 5 x + 25$ является само значение $x^{2} + 5 x + 25$ .

$(x^{2} + 5 x + 25) = x^{2} + 5 x + 25$

$(x^{2} + 5 x + 25)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $x - 5, x^{2} + 5 x + 25, x - 5, x^{2} + 5 x + 25$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}$ умножим на $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}$ на $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ .

$\frac{6 x}{x - 5} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{x - 5} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$6 x (x^{2} + 5 x + 25) - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x \cdot x^{2} + 6 x (5 x) + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Этап 3.2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$6 (x^{2} x) + 6 x (5 x) + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Этап 3.2.1.3.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 (x^{2} x^{1}) + 6 x (5 x) + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Этап 3.2.1.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 x^{2 + 1} + 6 x (5 x) + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Этап 3.2.1.3.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$6 x^{3} + 6 x (5 x) + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Этап 3.2.1.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 x^{3} + 6 \cdot 5 x \cdot x + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Этап 3.2.1.3.3

Умножим $25$ на $6$ .

$6 x^{3} + 6 \cdot 5 x \cdot x + 150 x - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Этап 3.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1.1

Перенесем $x$ .

$6 x^{3} + 6 \cdot 5 (x \cdot x) + 150 x - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Этап 3.2.1.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{2} + 150 x - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Этап 3.2.1.4.2

Умножим $6$ на $5$ .

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Этап 3.2.1.5

Сократим общий множитель $x^{2} + 5 x + 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25}$ в числитель.

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + \frac{- 300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Этап 3.2.1.5.2

Вынесем множитель $x^{2} + 5 x + 25$ из $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ .

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + \frac{- 300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x^{2} + 5 x + 25) (x - 5)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Этап 3.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + \frac{- 300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x^{2} + 5 x + 25) (x - 5)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Этап 3.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x - 300 (x - 5) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Этап 3.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x - 300 x - 300 \cdot - 5 = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Этап 3.2.1.7

Умножим $- 300$ на $- 5$ .

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x - 300 x + 1500 = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Этап 3.2.2

Вычтем $300 x$ из $150 x$ .

$6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x + 1500 = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x + 1500 = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x + 1500 = 2250$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $2250$ из обеих частей уравнения.

$6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x + 1500 - 2250 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $2250$ из $1500$ .

$6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x - 750 = 0$

Этап 4.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x - 750$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{3}$ .

$6 (x^{3}) + 30 x^{2} - 150 x - 750 = 0$

Этап 4.3.1.2

Вынесем множитель $6$ из $30 x^{2}$ .

$6 (x^{3}) + 6 (5 x^{2}) - 150 x - 750 = 0$

Этап 4.3.1.3

Вынесем множитель $6$ из $- 150 x$ .

$6 (x^{3}) + 6 (5 x^{2}) + 6 (- 25 x) - 750 = 0$

Этап 4.3.1.4

Вынесем множитель $6$ из $- 750$ .

$6 x^{3} + 6 (5 x^{2}) + 6 (- 25 x) + 6 \cdot - 125 = 0$

Этап 4.3.1.5

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{3} + 6 (5 x^{2})$ .

$6 (x^{3} + 5 x^{2}) + 6 (- 25 x) + 6 \cdot - 125 = 0$

Этап 4.3.1.6

Вынесем множитель $6$ из $6 (x^{3} + 5 x^{2}) + 6 (- 25 x)$ .

$6 (x^{3} + 5 x^{2} - 25 x) + 6 \cdot - 125 = 0$

Этап 4.3.1.7

Вынесем множитель $6$ из $6 (x^{3} + 5 x^{2} - 25 x) + 6 \cdot - 125$ .

$6 (x^{3} + 5 x^{2} - 25 x - 125) = 0$

Этап 4.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$6 ((x^{3} + 5 x^{2}) - 25 x - 125) = 0$

Этап 4.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$6 (x^{2} (x + 5) - 25 (x + 5)) = 0$

Этап 4.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 5$ .

$6 ((x + 5) (x^{2} - 25)) = 0$

Этап 4.3.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$6 ((x + 5) (x^{2} - 5^{2})) = 0$

Этап 4.3.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$6 ((x + 5) ((x + 5) (x - 5))) = 0$

Этап 4.3.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$6 ((x + 5) (x + 5) (x - 5)) = 0$

Этап 4.3.6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1.1

Возведем $x + 5$ в степень $1$ .

$6 ((x + 5) (x + 5) (x - 5)) = 0$

Этап 4.3.6.1.2

Возведем $x + 5$ в степень $1$ .

$6 ((x + 5) (x + 5) (x - 5)) = 0$

Этап 4.3.6.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 ({(x + 5)}^{1 + 1} (x - 5)) = 0$

Этап 4.3.6.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$6 ({(x + 5)}^{2} (x - 5)) = 0$

Этап 4.3.6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$6 {(x + 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 4.5

Приравняем ${(x + 5)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем ${(x + 5)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Этап 4.5.2

Решим ${(x + 5)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 4.5.2.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 4.6

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $6 {(x + 5)}^{2} (x - 5) = 0$ верно.

$x = - 5, 5$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{x^{3} - 125}$ истинным.

$x = - 5$