Основы алгебры Примеры

$\sqrt[3]{27 x \sqrt{x}} = 39$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{27 x \sqrt{x}}}^{3} = 39^{3}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{27 x \sqrt{x}}$ в виде ${(27 x \sqrt{x})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(27 x \sqrt{x})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 39^{3}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(27 x \sqrt{x})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(27 x \sqrt{x})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(27 x \sqrt{x})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 39^{3}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(27 x \sqrt{x})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 39^{3}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(27 x \sqrt{x})}^{1} = 39^{3}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$27 x \sqrt{x} = 39^{3}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведем $39$ в степень $3$ .

$27 x \sqrt{x} = 59319$

Этап 3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(27 x \sqrt{x})}^{2} = 59319^{2}$

Этап 4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(27 x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 59319^{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${(27 x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(27 (x^{\frac{1}{2}} x))}^{2} = 59319^{2}$

Этап 4.2.1.1.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

${(27 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}))}^{2} = 59319^{2}$

Этап 4.2.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(27 x^{\frac{1}{2} + 1})}^{2} = 59319^{2}$

Этап 4.2.1.1.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

${(27 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}})}^{2} = 59319^{2}$

Этап 4.2.1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

${(27 x^{\frac{1 + 2}{2}})}^{2} = 59319^{2}$

Этап 4.2.1.1.5

Добавим $1$ и $2$ .

${(27 x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 59319^{2}$

Этап 4.2.1.2

Применим правило умножения к $27 x^{\frac{3}{2}}$ .

$27^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 59319^{2}$

Этап 4.2.1.3

Возведем $27$ в степень $2$ .

$729 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 59319^{2}$

Этап 4.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$729 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 59319^{2}$

Этап 4.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$729 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 59319^{2}$

Этап 4.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$729 x^{3} = 59319^{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Возведем $59319$ в степень $2$ .

$729 x^{3} = 3518743761$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $3518743761$ из обеих частей уравнения.

$729 x^{3} - 3518743761 = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $729$ из $729 x^{3} - 3518743761$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $729$ из $729 x^{3}$ .

$729 (x^{3}) - 3518743761 = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $729$ из $- 3518743761$ .

$729 x^{3} + 729 \cdot - 4826809 = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $729$ из $729 x^{3} + 729 \cdot - 4826809$ .

$729 (x^{3} - 4826809) = 0$

Этап 5.2.2

Перепишем $4826809$ в виде $169^{3}$ .

$729 (x^{3} - 169^{3}) = 0$

Этап 5.2.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 169$ .

$729 ((x - 169) (x^{2} + x \cdot 169 + 169^{2})) = 0$

Этап 5.2.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Перенесем $169$ влево от $x$ .

$729 ((x - 169) (x^{2} + 169 x + 169^{2})) = 0$

Этап 5.2.4.1.2

Возведем $169$ в степень $2$ .

$729 ((x - 169) (x^{2} + 169 x + 28561)) = 0$

Этап 5.2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$729 (x - 169) (x^{2} + 169 x + 28561) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 169 = 0$

$x^{2} + 169 x + 28561 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x - 169$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x - 169$ к $0$ .

$x - 169 = 0$

Этап 5.4.2

Добавим $169$ к обеим частям уравнения.

$x = 169$

Этап 5.5

Приравняем $x^{2} + 169 x + 28561$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x^{2} + 169 x + 28561$ к $0$ .

$x^{2} + 169 x + 28561 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $x^{2} + 169 x + 28561 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 169$ и $c = 28561$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 169 \pm \sqrt{169^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 28561)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.1

Возведем $169$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 4 \cdot 1 \cdot 28561}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 28561$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 4 \cdot 28561}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $28561$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 114244}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.1.3

Вычтем $114244$ из $28561$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 85683}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.1.4

Перепишем $- 85683$ в виде $- 1 (85683)$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 1 \cdot 85683}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (85683)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{85683}$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{85683}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{85683}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.1.7

Перепишем $85683$ в виде $169^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $28561$ из $85683$ .

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{28561 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.1.7.2

Перепишем $28561$ в виде $169^{2}$ .

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{169^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot (169 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.1.9

Перенесем $169$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 169 \pm 169 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 169 \pm 169 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1.1

Возведем $169$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 4 \cdot 1 \cdot 28561}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 28561$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 4 \cdot 28561}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $28561$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 114244}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.1.3

Вычтем $114244$ из $28561$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 85683}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.1.4

Перепишем $- 85683$ в виде $- 1 (85683)$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 1 \cdot 85683}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (85683)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{85683}$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{85683}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{85683}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.1.7

Перепишем $85683$ в виде $169^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $28561$ из $85683$ .

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{28561 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.1.7.2

Перепишем $28561$ в виде $169^{2}$ .

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{169^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot (169 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.1.9

Перенесем $169$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 169 \pm 169 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 169 \pm 169 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.5.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 169 + 169 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.5.2.4.4

Перепишем $- 169$ в виде $- 1 (169)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 169 + 169 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.5.2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $169 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 169 - (- 169 i \sqrt{3})}{2}$

Этап 5.5.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (169) - (- 169 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (169 - 169 i \sqrt{3})}{2}$

Этап 5.5.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{169 - 169 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1.1

Возведем $169$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 4 \cdot 1 \cdot 28561}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 28561$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 4 \cdot 28561}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $28561$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 114244}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.1.3

Вычтем $114244$ из $28561$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 85683}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.1.4

Перепишем $- 85683$ в виде $- 1 (85683)$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 1 \cdot 85683}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (85683)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{85683}$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{85683}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{85683}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.1.7

Перепишем $85683$ в виде $169^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $28561$ из $85683$ .

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{28561 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.1.7.2

Перепишем $28561$ в виде $169^{2}$ .

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{169^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot (169 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.1.9

Перенесем $169$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 169 \pm 169 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 169 \pm 169 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.5.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 169 - 169 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.5.2.5.4

Перепишем $- 169$ в виде $- 1 (169)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 169 - 169 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.5.2.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 169 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 169 - (169 i \sqrt{3})}{2}$

Этап 5.5.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (169) - (169 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (169 + 169 i \sqrt{3})}{2}$

Этап 5.5.2.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{169 + 169 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{169 - 169 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{169 + 169 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $729 (x - 169) (x^{2} + 169 x + 28561) = 0$ верно.

$x = 169, - \frac{169 - 169 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{169 + 169 i \sqrt{3}}{2}$