Основы алгебры Примеры

$\sqrt{5 x - 12} - \sqrt{x} - 3 = - 1$

Этап 1

Перенесем все члены без $\sqrt{5 x - 12}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $\sqrt{x}$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{5 x - 12} - 3 = - 1 + \sqrt{x}$

Этап 1.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{5 x - 12} = - 1 + \sqrt{x} + 3$

Этап 1.3

Добавим $- 1$ и $3$ .

$\sqrt{5 x - 12} = 2 + \sqrt{x}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{5 x - 12}}^{2} = {(2 + \sqrt{x})}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 x - 12}$ в виде ${(5 x - 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 x - 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 + \sqrt{x})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(5 x - 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(5 x - 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 x - 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{x})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(5 x - 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{x})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(5 x - 12)}^{1} = {(2 + \sqrt{x})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$5 x - 12 = {(2 + \sqrt{x})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(2 + \sqrt{x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(2 + \sqrt{x})}^{2}$ в виде $(2 + \sqrt{x}) (2 + \sqrt{x})$ .

$5 x - 12 = (2 + \sqrt{x}) (2 + \sqrt{x})$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(2 + \sqrt{x}) (2 + \sqrt{x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x - 12 = 2 (2 + \sqrt{x}) + \sqrt{x} (2 + \sqrt{x})$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x - 12 = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{x} + \sqrt{x} (2 + \sqrt{x})$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x - 12 = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 2 + \sqrt{x} \sqrt{x}$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$5 x - 12 = 4 + 2 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 2 + \sqrt{x} \sqrt{x}$

Этап 3.3.1.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{x}$ .

$5 x - 12 = 4 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x}$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.3.1

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$5 x - 12 = 4 + 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}$

Этап 3.3.1.3.1.3.2

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$5 x - 12 = 4 + 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x - 12 = 4 + 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1 + 1}$

Этап 3.3.1.3.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$5 x - 12 = 4 + 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.4

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 x - 12 = 4 + 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 x - 12 = 4 + 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.1.3.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$5 x - 12 = 4 + 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$5 x - 12 = 4 + 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$5 x - 12 = 4 + 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} + x^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.5

Упростим.

$5 x - 12 = 4 + 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} + x$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $2 \sqrt{x}$ и $2 \sqrt{x}$ .

$5 x - 12 = 4 + 4 \sqrt{x} + x$

Этап 4

Решим относительно $4 \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $4 + 4 \sqrt{x} + x = 5 x - 12$ .

$4 + 4 \sqrt{x} + x = 5 x - 12$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $4 \sqrt{x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$4 \sqrt{x} + x = 5 x - 12 - 4$

Этап 4.2.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$4 \sqrt{x} = 5 x - 12 - 4 - x$

Этап 4.2.3

Вычтем $x$ из $5 x$ .

$4 \sqrt{x} = 4 x - 12 - 4$

Этап 4.2.4

Вычтем $4$ из $- 12$ .

$4 \sqrt{x} = 4 x - 16$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(4 \sqrt{x})}^{2} = {(4 x - 16)}^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(4 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x - 16)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(4 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило умножения к $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x - 16)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$16 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x - 16)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x - 16)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$16 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x - 16)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$16 x^{1} = {(4 x - 16)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Упростим.

$16 x = {(4 x - 16)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим ${(4 x - 16)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Перепишем ${(4 x - 16)}^{2}$ в виде $(4 x - 16) (4 x - 16)$ .

$16 x = (4 x - 16) (4 x - 16)$

Этап 6.3.1.2

Развернем $(4 x - 16) (4 x - 16)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$16 x = 4 x (4 x - 16) - 16 (4 x - 16)$

Этап 6.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$16 x = 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 - 16 (4 x - 16)$

Этап 6.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$16 x = 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 - 16 (4 x) - 16 \cdot - 16$

Этап 6.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$16 x = 4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 16 - 16 (4 x) - 16 \cdot - 16$

Этап 6.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$16 x = 4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 16 - 16 (4 x) - 16 \cdot - 16$

Этап 6.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$16 x = 4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 16 - 16 (4 x) - 16 \cdot - 16$

Этап 6.3.1.3.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$16 x = 16 x^{2} + 4 x \cdot - 16 - 16 (4 x) - 16 \cdot - 16$

Этап 6.3.1.3.1.4

Умножим $- 16$ на $4$ .

$16 x = 16 x^{2} - 64 x - 16 (4 x) - 16 \cdot - 16$

Этап 6.3.1.3.1.5

Умножим $4$ на $- 16$ .

$16 x = 16 x^{2} - 64 x - 64 x - 16 \cdot - 16$

Этап 6.3.1.3.1.6

Умножим $- 16$ на $- 16$ .

$16 x = 16 x^{2} - 64 x - 64 x + 256$

Этап 6.3.1.3.2

Вычтем $64 x$ из $- 64 x$ .

$16 x = 16 x^{2} - 128 x + 256$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$16 x^{2} - 128 x + 256 = 16 x$

Этап 7.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $16 x$ из обеих частей уравнения.

$16 x^{2} - 128 x + 256 - 16 x = 0$

Этап 7.2.2

Вычтем $16 x$ из $- 128 x$ .

$16 x^{2} - 144 x + 256 = 0$

Этап 7.3

Вынесем множитель $16$ из $16 x^{2} - 144 x + 256$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем множитель $16$ из $16 x^{2}$ .

$16 (x^{2}) - 144 x + 256 = 0$

Этап 7.3.2

Вынесем множитель $16$ из $- 144 x$ .

$16 (x^{2}) + 16 (- 9 x) + 256 = 0$

Этап 7.3.3

Вынесем множитель $16$ из $256$ .

$16 x^{2} + 16 (- 9 x) + 16 \cdot 16 = 0$

Этап 7.3.4

Вынесем множитель $16$ из $16 x^{2} + 16 (- 9 x)$ .

$16 (x^{2} - 9 x) + 16 \cdot 16 = 0$

Этап 7.3.5

Вынесем множитель $16$ из $16 (x^{2} - 9 x) + 16 \cdot 16$ .

$16 (x^{2} - 9 x + 16) = 0$

Этап 7.4

Разделим каждый член $16 (x^{2} - 9 x + 16) = 0$ на $16$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Разделим каждый член $16 (x^{2} - 9 x + 16) = 0$ на $16$ .

$\frac{16 (x^{2} - 9 x + 16)}{16} = \frac{0}{16}$

Этап 7.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16 (x^{2} - 9 x + 16)}{16} = \frac{0}{16}$

Этап 7.4.2.1.2

Разделим $x^{2} - 9 x + 16$ на $1$ .

$x^{2} - 9 x + 16 = \frac{0}{16}$

Этап 7.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.1

Разделим $0$ на $16$ .

$x^{2} - 9 x + 16 = 0$

Этап 7.5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.6

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 9$ и $c = 16$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1.1

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $16$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.7.1.3

Вычтем $64$ из $81$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{17}}{2}$

Этап 7.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1.1

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.8.1.2.2

Умножим $- 4$ на $16$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.8.1.3

Вычтем $64$ из $81$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.8.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{17}}{2}$

Этап 7.8.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{9 + \sqrt{17}}{2}$

Этап 7.9

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1.1

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.9.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.9.1.2.2

Умножим $- 4$ на $16$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.9.1.3

Вычтем $64$ из $81$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.9.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{17}}{2}$

Этап 7.9.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{9 - \sqrt{17}}{2}$

Этап 7.10

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{9 + \sqrt{17}}{2}, \frac{9 - \sqrt{17}}{2}$

Этап 8

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{5 x - 12} - \sqrt{x} - 3 = - 1$ истинным.

$x = \frac{9 + \sqrt{17}}{2}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{9 + \sqrt{17}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 6.56155281 \dots$