Основы алгебры Примеры

$f (x) = 3 - 2 \sin (π x)$

Этап 1

Перепишем выражение в виде $- 2 \sin (π x) + 3$ .

$- 2 \sin (π x) + 3$

Этап 2

Применим форму $a \sin (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = - 2$

$b = π$

$c = 0$

$d = 3$

Этап 3

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $2$

Этап 4

Найдем период, используя формулу $\frac{2 π}{| b |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем период $- 2 \sin (π x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.1.2

Заменим $b$ на $π$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| π |}$

Этап 4.1.3

$π$ приблизительно равно $3.14159265$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{π}$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{π}$

Этап 4.1.4.2

Разделим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 4.2

Найдем период $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.2

Заменим $b$ на $π$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| π |}$

Этап 4.2.3

$π$ приблизительно равно $3.14159265$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{π}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{π}$

Этап 4.2.4.2

Разделим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 4.3

Период суммы/разности тригонометрических функций равен наибольшему из отдельных периодов.

$2$

Этап 5

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 5.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{0}{π}$

Этап 5.3

Разделим $0$ на $π$ .

Сдвиг фазы: $0$

Этап 6

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $2$

Период: $2$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: $3$

Этап 7

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем точку в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 3 - 2 \sin (π (0))$

Этап 7.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.1

Умножим $π$ на $0$ .

$f (0) = 3 - 2 \sin (0)$

Этап 7.1.2.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (0) = 3 - 2 \cdot 0$

Этап 7.1.2.1.3

Умножим $- 2$ на $0$ .

$f (0) = 3 + 0$

Этап 7.1.2.2

Добавим $3$ и $0$ .

$f (0) = 3$

Этап 7.1.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 7.2

Найдем точку в $x = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 3 - 2 \sin (π (\frac{1}{2}))$

Этап 7.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Объединим $π$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 3 - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 7.2.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = 3 - 2 \cdot 1$

Этап 7.2.2.1.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = 3 - 2$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = 1$

Этап 7.2.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 7.3

Найдем точку в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 3 - 2 \sin (π (1))$

Этап 7.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Умножим $π$ на $1$ .

$f (1) = 3 - 2 \sin (π)$

Этап 7.3.2.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (1) = 3 - 2 \sin (0)$

Этап 7.3.2.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (1) = 3 - 2 \cdot 0$

Этап 7.3.2.1.4

Умножим $- 2$ на $0$ .

$f (1) = 3 + 0$

Этап 7.3.2.2

Добавим $3$ и $0$ .

$f (1) = 3$

Этап 7.3.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 7.4

Найдем точку в $x = \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = 3 - 2 \sin (π (\frac{3}{2}))$

Этап 7.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = 3 - 2 \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

Этап 7.4.2.1.2

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$f (\frac{3}{2}) = 3 - 2 \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

Этап 7.4.2.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$f (\frac{3}{2}) = 3 - 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 7.4.2.1.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{3}{2}) = 3 - 2 (- 1 \cdot 1)$

Этап 7.4.2.1.5

Умножим $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{3}{2}) = 3 - 2 \cdot - 1$

Этап 7.4.2.1.5.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f (\frac{3}{2}) = 3 + 2$

Этап 7.4.2.2

Добавим $3$ и $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = 5$

Этап 7.4.2.3

Окончательный ответ: $5$ .

$5$

Этап 7.5

Найдем точку в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = 3 - 2 \sin (π (2))$

Этап 7.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$f (2) = 3 - 2 \sin (2 \cdot π)$

Этап 7.5.2.1.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (2) = 3 - 2 \sin (0)$

Этап 7.5.2.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (2) = 3 - 2 \cdot 0$

Этап 7.5.2.1.4

Умножим $- 2$ на $0$ .

$f (2) = 3 + 0$

Этап 7.5.2.2

Добавим $3$ и $0$ .

$f (2) = 3$

Этап 7.5.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 7.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 3 \\ \frac{1}{2} & 1 \\ 1 & 3 \\ \frac{3}{2} & 5 \\ 2 & 3 \end{array}$

Этап 8

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $2$

Период: $2$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: $3$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 3 \\ \frac{1}{2} & 1 \\ 1 & 3 \\ \frac{3}{2} & 5 \\ 2 & 3 \end{array}$

Этап 9