Основы алгебры Примеры

$f (x) = \frac{1}{4} \cdot {(x + 4)}^{2} + 3$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изолируем $y$ в левой части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и ${(x + 4)}^{2}$ .

$y = \frac{{(x + 4)}^{2}}{4} + 3$

Этап 1.1.2

Изменим порядок членов.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + 4)}^{2} + 3$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 4$

$k = 3$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 4, 3)$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Этап 1.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Этап 1.5.3.2

Упростим путем деления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Разделим $4$ на $4$ .

$\frac{1}{1}$

Этап 1.5.3.2.2

Разделим $1$ на $1$ .

$1$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 4, 4)$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = - 4$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = 2$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- 4, 3)$

Фокус: $(- 4, 4)$

Ось симметрии: $x = - 4$

Директриса: $y = 2$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- 4, 3)$

Фокус: $(- 4, 4)$

Ось симметрии: $x = - 4$

Директриса: $y = 2$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 6$ .

$f (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{4} + 2 (- 6) + 7$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$f (- 6) = \frac{36}{4} + 2 (- 6) + 7$

Этап 2.2.1.2

Разделим $36$ на $4$ .

$f (- 6) = 9 + 2 (- 6) + 7$

Этап 2.2.1.3

Умножим $2$ на $- 6$ .

$f (- 6) = 9 - 12 + 7$

Этап 2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $12$ из $9$ .

$f (- 6) = - 3 + 7$

Этап 2.2.2.2

Добавим $- 3$ и $7$ .

$f (- 6) = 4$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = - 6$ равно $4$ .

$y = 4$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{2}}{4} + 2 (- 5) + 7$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + 2 (- 5) + 7$

Этап 2.5.1.2

Умножим $2$ на $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} - 10 + 7$

Этап 2.5.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Запишем $- 10$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10}{1} + 7$

Этап 2.5.2.2

Умножим $\frac{- 10}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10}{1} \cdot \frac{4}{4} + 7$

Этап 2.5.2.3

Умножим $\frac{- 10}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + 7$

Этап 2.5.2.4

Запишем $7$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + \frac{7}{1}$

Этап 2.5.2.5

Умножим $\frac{7}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + \frac{7}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 2.5.2.6

Умножим $\frac{7}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + \frac{7 \cdot 4}{4}$

Этап 2.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 5) = \frac{25 - 10 \cdot 4 + 7 \cdot 4}{4}$

Этап 2.5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Умножим $- 10$ на $4$ .

$f (- 5) = \frac{25 - 40 + 7 \cdot 4}{4}$

Этап 2.5.4.2

Умножим $7$ на $4$ .

$f (- 5) = \frac{25 - 40 + 28}{4}$

Этап 2.5.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Вычтем $40$ из $25$ .

$f (- 5) = \frac{- 15 + 28}{4}$

Этап 2.5.5.2

Добавим $- 15$ и $28$ .

$f (- 5) = \frac{13}{4}$

Этап 2.5.6

Окончательный ответ: $\frac{13}{4}$ .

$\frac{13}{4}$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = - 5$ равно $\frac{13}{4}$ .

$y = \frac{13}{4}$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + 2 (- 2) + 7$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = \frac{4}{4} + 2 (- 2) + 7$

Этап 2.8.1.2

Разделим $4$ на $4$ .

$f (- 2) = 1 + 2 (- 2) + 7$

Этап 2.8.1.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 1 - 4 + 7$

Этап 2.8.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Вычтем $4$ из $1$ .

$f (- 2) = - 3 + 7$

Этап 2.8.2.2

Добавим $- 3$ и $7$ .

$f (- 2) = 4$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = - 2$ равно $4$ .

$y = 4$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{4} + 2 (- 3) + 7$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + 2 (- 3) + 7$

Этап 2.11.1.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} - 6 + 7$

Этап 2.11.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Запишем $- 6$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6}{1} + 7$

Этап 2.11.2.2

Умножим $\frac{- 6}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{4}{4} + 7$

Этап 2.11.2.3

Умножим $\frac{- 6}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + 7$

Этап 2.11.2.4

Запишем $7$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{7}{1}$

Этап 2.11.2.5

Умножим $\frac{7}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{7}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 2.11.2.6

Умножим $\frac{7}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{7 \cdot 4}{4}$

Этап 2.11.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 3) = \frac{9 - 6 \cdot 4 + 7 \cdot 4}{4}$

Этап 2.11.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.4.1

Умножим $- 6$ на $4$ .

$f (- 3) = \frac{9 - 24 + 7 \cdot 4}{4}$

Этап 2.11.4.2

Умножим $7$ на $4$ .

$f (- 3) = \frac{9 - 24 + 28}{4}$

Этап 2.11.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.5.1

Вычтем $24$ из $9$ .

$f (- 3) = \frac{- 15 + 28}{4}$

Этап 2.11.5.2

Добавим $- 15$ и $28$ .

$f (- 3) = \frac{13}{4}$

Этап 2.11.6

Окончательный ответ: $\frac{13}{4}$ .

$\frac{13}{4}$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = - 3$ равно $\frac{13}{4}$ .

$y = \frac{13}{4}$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 4 \\ - 5 & \frac{13}{4} \\ - 4 & 3 \\ - 3 & \frac{13}{4} \\ - 2 & 4 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- 4, 3)$

Фокус: $(- 4, 4)$

Ось симметрии: $x = - 4$

Директриса: $y = 2$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 4 \\ - 5 & \frac{13}{4} \\ - 4 & 3 \\ - 3 & \frac{13}{4} \\ - 2 & 4 \end{array}$

Этап 4