Основы алгебры Примеры

$f (x) = {(x - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{5}{2}$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 1$

$h = \frac{3}{2}$

$k = \frac{5}{2}$

Этап 1.2

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$

Этап 1.4

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.4.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 1.5

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.5.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{3}{2}, \frac{11}{4})$

Этап 1.6

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = \frac{3}{2}$

Этап 1.7

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.7.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{9}{4}$

Этап 1.8

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$

Фокус: $(\frac{3}{2}, \frac{11}{4})$

Ось симметрии: $x = \frac{3}{2}$

Директриса: $y = \frac{9}{4}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$

Фокус: $(\frac{3}{2}, \frac{11}{4})$

Ось симметрии: $x = \frac{3}{2}$

Директриса: $y = \frac{9}{4}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = {(1)}^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{19}{4}$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1 - 3 \cdot 1 + \frac{19}{4}$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f (1) = 1 - 3 + \frac{19}{4}$

Этап 2.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (1) = \frac{1}{1} - 3 + \frac{19}{4}$

Этап 2.2.2.2

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} - 3 + \frac{19}{4}$

Этап 2.2.2.3

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = \frac{4}{4} - 3 + \frac{19}{4}$

Этап 2.2.2.4

Запишем $- 3$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (1) = \frac{4}{4} + \frac{- 3}{1} + \frac{19}{4}$

Этап 2.2.2.5

Умножим $\frac{- 3}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = \frac{4}{4} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{19}{4}$

Этап 2.2.2.6

Умножим $\frac{- 3}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = \frac{4}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{19}{4}$

Этап 2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (1) = \frac{4 - 3 \cdot 4 + 19}{4}$

Этап 2.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Умножим $- 3$ на $4$ .

$f (1) = \frac{4 - 12 + 19}{4}$

Этап 2.2.4.2

Вычтем $12$ из $4$ .

$f (1) = \frac{- 8 + 19}{4}$

Этап 2.2.4.3

Добавим $- 8$ и $19$ .

$f (1) = \frac{11}{4}$

Этап 2.2.5

Окончательный ответ: $\frac{11}{4}$ .

$\frac{11}{4}$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = 1$ равно $\frac{11}{4}$ .

$y = \frac{11}{4}$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + \frac{19}{4}$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 + \frac{19}{4}$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 3$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + \frac{19}{4}$

Этап 2.5.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + \frac{19}{4}$

Этап 2.5.2.2

Добавим $0$ и $\frac{19}{4}$ .

$f (0) = \frac{19}{4}$

Этап 2.5.3

Окончательный ответ: $\frac{19}{4}$ .

$\frac{19}{4}$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = 0$ равно $\frac{19}{4}$ .

$y = \frac{19}{4}$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + \frac{19}{4}$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = 9 - 3 \cdot 3 + \frac{19}{4}$

Этап 2.8.1.2

Умножим $- 3$ на $3$ .

$f (3) = 9 - 9 + \frac{19}{4}$

Этап 2.8.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Запишем $9$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (3) = \frac{9}{1} - 9 + \frac{19}{4}$

Этап 2.8.2.2

Умножим $\frac{9}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (3) = \frac{9}{1} \cdot \frac{4}{4} - 9 + \frac{19}{4}$

Этап 2.8.2.3

Умножим $\frac{9}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (3) = \frac{9 \cdot 4}{4} - 9 + \frac{19}{4}$

Этап 2.8.2.4

Запишем $- 9$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (3) = \frac{9 \cdot 4}{4} + \frac{- 9}{1} + \frac{19}{4}$

Этап 2.8.2.5

Умножим $\frac{- 9}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (3) = \frac{9 \cdot 4}{4} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{19}{4}$

Этап 2.8.2.6

Умножим $\frac{- 9}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (3) = \frac{9 \cdot 4}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{19}{4}$

Этап 2.8.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (3) = \frac{9 \cdot 4 - 9 \cdot 4 + 19}{4}$

Этап 2.8.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1

Умножим $9$ на $4$ .

$f (3) = \frac{36 - 9 \cdot 4 + 19}{4}$

Этап 2.8.4.2

Умножим $- 9$ на $4$ .

$f (3) = \frac{36 - 36 + 19}{4}$

Этап 2.8.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.5.1

Вычтем $36$ из $36$ .

$f (3) = \frac{0 + 19}{4}$

Этап 2.8.5.2

Добавим $0$ и $19$ .

$f (3) = \frac{19}{4}$

Этап 2.8.6

Окончательный ответ: $\frac{19}{4}$ .

$\frac{19}{4}$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = 3$ равно $\frac{19}{4}$ .

$y = \frac{19}{4}$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = {(4)}^{2} - 3 \cdot 4 + \frac{19}{4}$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (4) = 16 - 3 \cdot 4 + \frac{19}{4}$

Этап 2.11.1.2

Умножим $- 3$ на $4$ .

$f (4) = 16 - 12 + \frac{19}{4}$

Этап 2.11.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Запишем $16$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (4) = \frac{16}{1} - 12 + \frac{19}{4}$

Этап 2.11.2.2

Умножим $\frac{16}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = \frac{16}{1} \cdot \frac{4}{4} - 12 + \frac{19}{4}$

Этап 2.11.2.3

Умножим $\frac{16}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = \frac{16 \cdot 4}{4} - 12 + \frac{19}{4}$

Этап 2.11.2.4

Запишем $- 12$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (4) = \frac{16 \cdot 4}{4} + \frac{- 12}{1} + \frac{19}{4}$

Этап 2.11.2.5

Умножим $\frac{- 12}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = \frac{16 \cdot 4}{4} + \frac{- 12}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{19}{4}$

Этап 2.11.2.6

Умножим $\frac{- 12}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = \frac{16 \cdot 4}{4} + \frac{- 12 \cdot 4}{4} + \frac{19}{4}$

Этап 2.11.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (4) = \frac{16 \cdot 4 - 12 \cdot 4 + 19}{4}$

Этап 2.11.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.4.1

Умножим $16$ на $4$ .

$f (4) = \frac{64 - 12 \cdot 4 + 19}{4}$

Этап 2.11.4.2

Умножим $- 12$ на $4$ .

$f (4) = \frac{64 - 48 + 19}{4}$

Этап 2.11.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.5.1

Вычтем $48$ из $64$ .

$f (4) = \frac{16 + 19}{4}$

Этап 2.11.5.2

Добавим $16$ и $19$ .

$f (4) = \frac{35}{4}$

Этап 2.11.6

Окончательный ответ: $\frac{35}{4}$ .

$\frac{35}{4}$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = 4$ равно $\frac{35}{4}$ .

$y = \frac{35}{4}$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & \frac{19}{4} \\ 1 & \frac{11}{4} \\ \frac{3}{2} & \frac{5}{2} \\ 3 & \frac{19}{4} \\ 4 & \frac{35}{4} \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$

Фокус: $(\frac{3}{2}, \frac{11}{4})$

Ось симметрии: $x = \frac{3}{2}$

Директриса: $y = \frac{9}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & \frac{19}{4} \\ 1 & \frac{11}{4} \\ \frac{3}{2} & \frac{5}{2} \\ 3 & \frac{19}{4} \\ 4 & \frac{35}{4} \end{array}$

Этап 4