Основы алгебры Примеры

$f (x) = \frac{(2) (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем, где выражение $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ не определено.

$x \leq 0$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $0$ слева, а $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $0$ справа, то $x = 0$ — вертикальная асимптота.

$x = 0$

Этап 1.3

Вычислим $lim_{x \to \infty} \frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Этап 1.3.2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1 - \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Этап 1.3.2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Этап 1.3.2.1.2.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$2 \frac{1 - lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Этап 1.3.2.1.2.2

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$2 \frac{1 - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Этап 1.3.2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.2.3.1

Произведение ненулевой константы на бесконечность равно бесконечности.

$2 \frac{1 + - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Этап 1.3.2.1.2.3.2

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$2 \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Этап 1.3.2.1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$2 \frac{- \infty}{\infty}$

Этап 1.3.2.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$2 \frac{- \infty}{\infty}$

Этап 1.3.2.2

Поскольку $\frac{- \infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.2.3.2

По правилу суммы производная $1 - \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.2.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.2.3.4.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.2.3.5

Вычтем $\frac{1}{x}$ из $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x}}{2 x}$

Этап 1.3.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 x}$

Этап 1.3.2.5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.5.1

Умножим $\frac{1}{2 x}$ на $\frac{1}{x}$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x \cdot x}$

Этап 1.3.2.5.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1} x}$

Этап 1.3.2.5.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1} x^{1}}$

Этап 1.3.2.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1 + 1}}$

Этап 1.3.2.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{2}}$

Этап 1.3.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{2}}$

Этап 1.3.3.2

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.3.4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot 0$

Этап 1.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 1$ .

$2 (- 1) \frac{1}{2} \cdot 0$

Этап 1.3.5.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot 0$

Этап 1.3.5.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 0$

Этап 1.3.5.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0$

Этап 1.4

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = 0$

Этап 1.5

У логарифмических и тригонометрических функций нет наклонных асимптот.

Нет наклонных асимптот

Этап 1.6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 0$

Горизонтальные асимптоты: $y = 0$

Вертикальные асимптоты: $x = 0$

Горизонтальные асимптоты: $y = 0$

Этап 2

Найдем точку в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{(2) (1 - \ln (1))}{{(1)}^{2}}$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$f (1) = \frac{2 (1 - 0)}{1^{2}}$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (1) = \frac{2 (1 + 0)}{1^{2}}$

Этап 2.2.1.3

Добавим $1$ и $0$ .

$f (1) = \frac{2 \cdot 1}{1^{2}}$

Этап 2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{2 \cdot 1}{1}$

Этап 2.2.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f (1) = \frac{2}{1}$

Этап 2.2.2.3

Разделим $2$ на $1$ .

$f (1) = 2$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 2.3

Преобразуем $2$ в десятичное представление.

$y = 2$

Этап 3

Найдем точку в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{(2) (1 - \ln (2))}{{(2)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из ${(2)}^{2}$ .

$f (2) = \frac{(2) (1 - \ln (2))}{2 \cdot 2}$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$f (2) = \frac{2 (1 - \ln (2))}{2 \cdot 2}$

Этап 3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$f (2) = \frac{1 - \ln (2)}{2}$

Этап 3.2.2

Окончательный ответ: $\frac{1 - \ln (2)}{2}$ .

$\frac{1 - \ln (2)}{2}$

Этап 3.3

Преобразуем $\frac{1 - \ln (2)}{2}$ в десятичное представление.

$y = 0.1534264$

Этап 4

Найдем точку в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \frac{(2) (1 - \ln (3))}{{(3)}^{2}}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = \frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$

Этап 4.2.2

Окончательный ответ: $\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$ .

$\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$

Этап 4.3

Преобразуем $\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$ в десятичное представление.

$y = - 0.02191384$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = 0$ и точек $(1, 2), (2, 0.1534264), (3, - 0.02191384)$ .

Вертикальная асимптота: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2 \\ 2 & 0.153 \\ 3 & - 0.022 \end{array}$

Этап 6