Основы алгебры Примеры

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2} - 3$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изолируем $y$ в левой части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Объединим ${(x + 1)}^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{{(x + 1)}^{2}}{2} - 3$

Этап 1.1.2

Изменим порядок членов.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2} - 3$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = - 1$

$k = - 3$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 1, - 3)$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.5.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Этап 1.5.3.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Этап 1.5.3.3

Разделим $4$ на $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 1, - \frac{7}{2})$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = - 1$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{5}{2}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(- 1, - 3)$

Фокус: $(- 1, - \frac{7}{2})$

Ось симметрии: $x = - 1$

Директриса: $y = - \frac{5}{2}$

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(- 1, - 3)$

Фокус: $(- 1, - \frac{7}{2})$

Ось симметрии: $x = - 1$

Директриса: $y = - \frac{5}{2}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = - \frac{{(- 3)}^{2}}{2} - (- 3) - \frac{7}{2}$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 3) = - (- 3) + \frac{- {(- 3)}^{2} - 7}{2}$

Этап 2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f (- 3) = - (- 3) + \frac{- 1 \cdot 9 - 7}{2}$

Этап 2.2.2.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f (- 3) = - (- 3) + \frac{- 9 - 7}{2}$

Этап 2.2.3

Вычтем $7$ из $- 9$ .

$f (- 3) = - (- 3) + \frac{- 16}{2}$

Этап 2.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$f (- 3) = 3 + \frac{- 16}{2}$

Этап 2.2.4.2

Разделим $- 16$ на $2$ .

$f (- 3) = 3 - 8$

Этап 2.2.5

Вычтем $8$ из $3$ .

$f (- 3) = - 5$

Этап 2.2.6

Окончательный ответ: $- 5$ .

$- 5$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = - 3$ равно $- 5$ .

$y = - 5$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{2} - (- 2) - \frac{7}{2}$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 2) = - (- 2) + \frac{- {(- 2)}^{2} - 7}{2}$

Этап 2.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = - (- 2) + \frac{- 1 \cdot 4 - 7}{2}$

Этап 2.5.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (- 2) = - (- 2) + \frac{- 4 - 7}{2}$

Этап 2.5.3

Вычтем $7$ из $- 4$ .

$f (- 2) = - (- 2) + \frac{- 11}{2}$

Этап 2.5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 2 + \frac{- 11}{2}$

Этап 2.5.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 2) = 2 - \frac{11}{2}$

Этап 2.5.5

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- 2) = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{11}{2}$

Этап 2.5.6

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{11}{2}$

Этап 2.5.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2 - 11}{2}$

Этап 2.5.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.8.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- 2) = \frac{4 - 11}{2}$

Этап 2.5.8.2

Вычтем $11$ из $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 7}{2}$

Этап 2.5.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 2) = - \frac{7}{2}$

Этап 2.5.10

Окончательный ответ: $- \frac{7}{2}$ .

$- \frac{7}{2}$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = - 2$ равно $- \frac{7}{2}$ .

$y = - \frac{7}{2}$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{2} - (1) - \frac{7}{2}$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (1) = - (1) + \frac{- {(1)}^{2} - 7}{2}$

Этап 2.8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = - (1) + \frac{- 1 \cdot 1 - 7}{2}$

Этап 2.8.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = - (1) + \frac{- 1 - 7}{2}$

Этап 2.8.3

Вычтем $7$ из $- 1$ .

$f (1) = - (1) + \frac{- 8}{2}$

Этап 2.8.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = - 1 + \frac{- 8}{2}$

Этап 2.8.4.2

Разделим $- 8$ на $2$ .

$f (1) = - 1 - 4$

Этап 2.8.5

Вычтем $4$ из $- 1$ .

$f (1) = - 5$

Этап 2.8.6

Окончательный ответ: $- 5$ .

$- 5$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = 1$ равно $- 5$ .

$y = - 5$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{2} - (0) - \frac{7}{2}$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (0) = - (0) + \frac{- {(0)}^{2} - 7}{2}$

Этап 2.11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = - (0) + \frac{- 0 - 7}{2}$

Этап 2.11.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = - (0) + \frac{0 - 7}{2}$

Этап 2.11.3

Вычтем $7$ из $0$ .

$f (0) = - (0) + \frac{- 7}{2}$

Этап 2.11.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.4.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = 0 + \frac{- 7}{2}$

Этап 2.11.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (0) = 0 - \frac{7}{2}$

Этап 2.11.5

Вычтем $\frac{7}{2}$ из $0$ .

$f (0) = - \frac{7}{2}$

Этап 2.11.6

Окончательный ответ: $- \frac{7}{2}$ .

$- \frac{7}{2}$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = 0$ равно $- \frac{7}{2}$ .

$y = - \frac{7}{2}$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 5 \\ - 2 & - \frac{7}{2} \\ - 1 & - 3 \\ 0 & - \frac{7}{2} \\ 1 & - 5 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(- 1, - 3)$

Фокус: $(- 1, - \frac{7}{2})$

Ось симметрии: $x = - 1$

Директриса: $y = - \frac{5}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 5 \\ - 2 & - \frac{7}{2} \\ - 1 & - 3 \\ 0 & - \frac{7}{2} \\ 1 & - 5 \end{array}$

Этап 4