Основы алгебры Примеры

$f (x) = \sqrt{12 - 3 x^{2}}$

Этап 1

Найдем область определения $y = \sqrt{12 - 3 x^{2}}$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ , то есть список точек, которые помогут составить график корня.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$3 (2 + x) (2 - x) \geq 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем $2 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Приравняем $2 + x$ к $0$ .

$2 + x = 0$

Этап 1.2.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 1.2.3

Приравняем $2 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Приравняем $2 - x$ к $0$ .

$2 - x = 0$

Этап 1.2.3.2

Решим $2 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 1.2.3.2.2

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 1.2.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 1.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 (2 + x) (2 - x) \geq 0$ верно.

$x = - 2, 2$

Этап 1.2.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Этап 1.2.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 1.2.6.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$3 (2 - 4) (2 - (- 4)) \geq 0$

Этап 1.2.6.1.3

Левая часть $- 36$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.2.6.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 1.2.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$3 (2 + 0) (2 - (0)) \geq 0$

Этап 1.2.6.2.3

Левая часть $12$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.2.6.3

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 1.2.6.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$3 (2 + 4) (2 - (4)) \geq 0$

Этап 1.2.6.3.3

Левая часть $- 36$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.2.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

Этап 1.2.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 2 \leq x \leq 2$

Этап 1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 2, 2]$

Обозначение построения множества:

${x | - 2 \leq x \leq 2}$

Интервальное представление:

$[- 2, 2]$

Обозначение построения множества:

${x | - 2 \leq x \leq 2}$

Этап 2

Чтобы найти конечные точки, подставим граничные значения $x$ из области определения в $f (x) = \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \sqrt{3 (2 - 2) (2 - (- 2))}$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$f (- 2) = \sqrt{3 (2 - 2) (2 - (- 2))}$

Этап 2.2.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \sqrt{3 (2 - 2) (2 + 2)}$

Этап 2.2.3

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (- 2) = \sqrt{3 \cdot (0 (2 + 2))}$

Этап 2.2.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Умножим $3$ на $0$ .

$f (- 2) = \sqrt{0 (2 + 2)}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $0$ на $2 + 2$ .

$f (- 2) = \sqrt{0}$

Этап 2.2.5

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (- 2) = \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.2.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- 2) = 0$

Этап 2.2.7

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.3

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \sqrt{3 (2 + 2) (2 - (2))}$

Этап 2.4

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Избавимся от скобок.

$f (2) = \sqrt{3 (2 + 2) (2 - (2))}$

Этап 2.4.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (2) = \sqrt{3 (2 + 2) (2 - 2)}$

Этап 2.4.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f (2) = \sqrt{3 \cdot (4 (2 - 2))}$

Этап 2.4.4

Умножим $3$ на $4$ .

$f (2) = \sqrt{12 (2 - 2)}$

Этап 2.4.5

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (2) = \sqrt{12 \cdot 0}$

Этап 2.4.6

Умножим $12$ на $0$ .

$f (2) = \sqrt{0}$

Этап 2.4.7

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (2) = \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.4.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (2) = 0$

Этап 2.4.9

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3

Конечные точки: $(- 2, 0), (2, 0)$ .

$(- 2, 0), (2, 0)$

Этап 4

График квадратного корня можно построить с помощью точек вокруг вершины $(- 2, 0), (2, 0),$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ 2 & 0 \end{array}$

Этап 5