Основы алгебры Примеры

$f (x) = | x | + \frac{1}{x}$

Этап 1

Найдем область определения $f (x) = | x | + \frac{1}{x}$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ и получить список точек, которые помогут составить график функции абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 1.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Этап 2

Для каждого значения $x$ имеется одно значение $y$ . Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения, находящиеся вблизи значения $x$ , являющегося вершиной графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим значение $x$ $- 2$ в $f (x) = | x | + \frac{1}{x}$ . В данном случае получится точка $(- 2, \frac{3}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = | - 2 | + \frac{1}{- 2}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 2$ и $0$ равно $2$ .

$f (- 2) = 2 + \frac{1}{- 2}$

Этап 2.1.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 2) = 2 - \frac{1}{2}$

Этап 2.1.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- 2) = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 2.1.2.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 2.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 2.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- 2) = \frac{4 - 1}{2}$

Этап 2.1.2.5.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$f (- 2) = \frac{3}{2}$

Этап 2.1.2.6

Окончательный ответ: $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Этап 2.2

Подставим значение $x$ $- 1$ в $f (x) = | x | + \frac{1}{x}$ . В данном случае получится точка $(- 1, 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = | - 1 | + \frac{1}{- 1}$

Этап 2.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 1$ и $0$ равно $1$ .

$f (- 1) = 1 + \frac{1}{- 1}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $1$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 1$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (- 1) = 0$

Этап 2.2.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 2.3

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = | x | + \frac{1}{x}$ . В данном случае получится точка $(1, 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = | 1 | + \frac{1}{1}$

Этап 2.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$f (1) = 1 + \frac{1}{1}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $1$ на $1$ .

$f (1) = 1 + 1$

Этап 2.3.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f (1) = 2$

Этап 2.3.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$y = 2$

Этап 2.4

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = | x | + \frac{1}{x}$ . В данном случае получится точка $(2, \frac{5}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = | 2 | + \frac{1}{2}$

Этап 2.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$f (2) = 2 + \frac{1}{2}$

Этап 2.4.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 2.4.2.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 2.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (2) = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2}$

Этап 2.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f (2) = \frac{4 + 1}{2}$

Этап 2.4.2.5.2

Добавим $4$ и $1$ .

$f (2) = \frac{5}{2}$

Этап 2.4.2.6

Окончательный ответ: $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{5}{2}$

Этап 2.5

График функции абсолютного значения можно построить по точкам около вершины $(- 2, 1.5), (- 1, 0), (1, 2), (2, 2.5)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 1.5 \\ - 1 & 0 \\ 1 & 2 \\ 2 & 2.5 \end{array}$

Этап 3