Основы алгебры Примеры

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 5}{6 x - 4}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{2 x^{2} + 5}{2 (3 x - 2)}$ не определено.

$x = \frac{2}{3}$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5}{2 (3 x) - 4}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} + 5}{2 (3 x) + 2 (- 2)}$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x) + 2 (- 2)$ .

$\frac{2 x^{2} + 5}{2 (3 x - 2)}$

Этап 5.2

Развернем $2 (3 x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + 5}{2 (3 x) + 2 \cdot - 2}$

Этап 5.2.2

Избавимся от скобок.

$\frac{2 x^{2} + 5}{2 \cdot (3 x) + 2 \cdot - 2}$

Этап 5.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{2 x^{2} + 5}{6 x + 2 \cdot - 2}$

Этап 5.2.4

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} + 5}{6 x - 4}$

Этап 5.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$6 x$

$4$

$2 x^{2}$

$0 x$

$5$

Этап 5.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $6 x$ .

					$\frac{x}{3}$
	$6 x$	-	$4$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$

Этап 5.5

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{x}{3}$
$6 x$	-	$4$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			+	$2 x^{2}$	-	$\frac{4 x}{3}$

Этап 5.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{2} - \frac{4 x}{3}$ .

				$\frac{x}{3}$
$6 x$	-	$4$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$2 x^{2}$	+	$\frac{4 x}{3}$

Этап 5.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{x}{3}$
$6 x$	-	$4$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$2 x^{2}$	+	$\frac{4 x}{3}$
					+	$\frac{4 x}{3}$

Этап 5.8

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$\frac{x}{3}$
$6 x$	-	$4$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$2 x^{2}$	+	$\frac{4 x}{3}$
					+	$\frac{4 x}{3}$	+	$5$

Этап 5.9

Разделим член с максимальной степенью в делимом $\frac{4 x}{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $6 x$ .

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{9}$
$6 x$	-	$4$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$2 x^{2}$	+	$\frac{4 x}{3}$
					+	$\frac{4 x}{3}$	+	$5$

Этап 5.10

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{9}$
$6 x$	-	$4$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$2 x^{2}$	+	$\frac{4 x}{3}$
					+	$\frac{4 x}{3}$	+	$5$
					+	$\frac{4 x}{3}$	-	$\frac{8}{9}$

Этап 5.11

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $\frac{4 x}{3} - \frac{8}{9}$ .

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{9}$
$6 x$	-	$4$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$2 x^{2}$	+	$\frac{4 x}{3}$
					+	$\frac{4 x}{3}$	+	$5$
					-	$\frac{4 x}{3}$	+	$\frac{8}{9}$

Этап 5.12

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{9}$
$6 x$	-	$4$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$2 x^{2}$	+	$\frac{4 x}{3}$
					+	$\frac{4 x}{3}$	+	$5$
					-	$\frac{4 x}{3}$	+	$\frac{8}{9}$
							+	$\frac{53}{9}$

Этап 5.13

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\frac{x}{3} + \frac{2}{9} + \frac{53}{9 (6 x - 4)}$

Этап 5.14

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = \frac{x}{3} + \frac{2}{9}$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{2}{3}$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = \frac{x}{3} + \frac{2}{9}$

Этап 7