Основы алгебры Примеры

Этап 1
Найдем стандартную форму уравнения эллипса.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 1.2
Составим полный квадрат для .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.1
Применим форму , чтобы найти значения , и .
Этап 1.2.2
Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.
Этап 1.2.3
Найдем значение по формуле .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.3.1
Подставим значения и в формулу .
Этап 1.2.3.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.3.2.1
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.3.2.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.2.3.2.1.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.3.2.1.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.2.3.2.1.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 1.2.3.2.1.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 1.2.3.2.2
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.3.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.2.3.2.2.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.3.2.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.2.3.2.2.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 1.2.3.2.2.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 1.2.3.2.2.2.4
Разделим на .
Этап 1.2.4
Найдем значение по формуле .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.4.1
Подставим значения , и в формулу .
Этап 1.2.4.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.4.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.4.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 1.2.4.2.1.2
Умножим на .
Этап 1.2.4.2.1.3
Разделим на .
Этап 1.2.4.2.1.4
Умножим на .
Этап 1.2.4.2.2
Вычтем из .
Этап 1.2.5
Подставим значения , и в уравнение с заданной вершиной .
Этап 1.3
Подставим вместо в уравнение .
Этап 1.4
Перенесем в правую часть уравнения, прибавив к обеим частям.
Этап 1.5
Составим полный квадрат для .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.1
Применим форму , чтобы найти значения , и .
Этап 1.5.2
Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.
Этап 1.5.3
Найдем значение по формуле .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.3.1
Подставим значения и в формулу .
Этап 1.5.3.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.3.2.1
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.3.2.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.5.3.2.1.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.3.2.1.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.5.3.2.1.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 1.5.3.2.1.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 1.5.3.2.2
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.3.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.5.3.2.2.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.3.2.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.5.3.2.2.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 1.5.3.2.2.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 1.5.3.2.2.2.4
Разделим на .
Этап 1.5.4
Найдем значение по формуле .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.4.1
Подставим значения , и в формулу .
Этап 1.5.4.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.4.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.4.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 1.5.4.2.1.2
Умножим на .
Этап 1.5.4.2.1.3
Разделим на .
Этап 1.5.4.2.1.4
Умножим на .
Этап 1.5.4.2.2
Вычтем из .
Этап 1.5.5
Подставим значения , и в уравнение с заданной вершиной .
Этап 1.6
Подставим вместо в уравнение .
Этап 1.7
Перенесем в правую часть уравнения, прибавив к обеим частям.
Этап 1.8
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.8.1
Добавим и .
Этап 1.8.2
Добавим и .
Этап 1.9
Разделим каждый член на , чтобы правая часть была равна единице.
Этап 1.10
Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна .
Этап 2
Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.
Этап 3
Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная представляет большую ось эллипса,  — малую ось,  — сдвиг по оси X от начала координат, а  — сдвиг по оси Y от начала координат.
Этап 4
Центр эллипса имеет вид . Подставим значения и .
Этап 5
Найдем , расстояние от центра до фокуса.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.
Этап 5.2
Подставим значения и в формулу.
Этап 5.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.1
Возведем в степень .
Этап 5.3.2
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.2.1
С помощью запишем в виде .
Этап 5.3.2.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 5.3.2.3
Объединим и .
Этап 5.3.2.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.2.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 5.3.2.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 5.3.2.5
Найдем экспоненту.
Этап 5.3.3
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.3.1
Умножим на .
Этап 5.3.3.2
Вычтем из .
Этап 5.3.3.3
Перепишем в виде .
Этап 5.3.4
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 6
Найдем вершины.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Первую вершину эллипса можно найти, добавив к .
Этап 6.2
Подставим известные значения , и в формулу.
Этап 6.3
Упростим.
Этап 6.4
The second vertex of an ellipse can be found by subtracting from .
Этап 6.5
Подставим известные значения , и в формулу.
Этап 6.6
Упростим.
Этап 6.7
Эллипсы имеют две вершины.
:
:
:
:
Этап 7
Найдем фокусы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1
Первый фокус эллипса можно найти, добавив к .
Этап 7.2
Подставим известные значения , и в формулу.
Этап 7.3
Упростим.
Этап 7.4
Первый фокус эллипса можно найти, вычтя из .
Этап 7.5
Подставим известные значения , и в формулу.
Этап 7.6
Упростим.
Этап 7.7
Эллипсы имеют два фокуса.
:
:
:
:
Этап 8
Найдем эксцентриситет.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1
Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.
Этап 8.2
Подставим значения и в формулу.
Этап 8.3
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.3.1
Возведем в степень .
Этап 8.3.2
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.3.2.1
С помощью запишем в виде .
Этап 8.3.2.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 8.3.2.3
Объединим и .
Этап 8.3.2.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.3.2.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 8.3.2.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 8.3.2.5
Найдем экспоненту.
Этап 8.3.3
Умножим на .
Этап 8.3.4
Вычтем из .
Этап 8.3.5
Перепишем в виде .
Этап 8.3.6
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 9
Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.
Центр:
:
:
:
:
Эксцентриситет:
Этап 10