Основы алгебры Примеры

$9 x^{2} + 5 y^{2} - 18 x + 30 y + 9 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$9 x^{2} + 5 y^{2} - 18 x + 30 y = - 9$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $9 x^{2} - 18 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 9$

$b = - 18$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 9}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 18$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (9)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 9}{9}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 9$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $- 9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $- 18$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $9$ .

$e = 0 - \frac{324}{36}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $324$ на $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $9$ .

$e = 0 - 9$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $9$ из $0$ .

$e = - 9$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9$

Этап 1.3

Подставим $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ вместо $9 x^{2} - 18 x$ в уравнение $9 x^{2} + 5 y^{2} - 18 x + 30 y = - 9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9 + 5 y^{2} + 30 y = - 9$

Этап 1.4

Перенесем $- 9$ в правую часть уравнения, прибавив $9$ к обеим частям.

$9 {(x - 1)}^{2} + 5 y^{2} + 30 y = - 9 + 9$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $5 y^{2} + 30 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 5$

$b = 30$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{30}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $30$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $30$ .

$d = \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 5$ .

$d = \frac{2 \cdot 15}{2 (5)}$

Этап 1.5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{15}{5}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $15$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$d = \frac{5 \cdot 3}{5}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$d = \frac{5 \cdot 3}{5 (1)}$

Этап 1.5.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{3}{1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$d = 3$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{30^{2}}{4 \cdot 5}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $30$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{900}{4 \cdot 5}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $5$ .

$e = 0 - \frac{900}{20}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Разделим $900$ на $20$ .

$e = 0 - 1 \cdot 45$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $45$ .

$e = 0 - 45$

Этап 1.5.4.2.2

Вычтем $45$ из $0$ .

$e = - 45$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $5 {(y + 3)}^{2} - 45$ .

$5 {(y + 3)}^{2} - 45$

Этап 1.6

Подставим $5 {(y + 3)}^{2} - 45$ вместо $5 y^{2} + 30 y$ в уравнение $9 x^{2} + 5 y^{2} - 18 x + 30 y = - 9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} + 5 {(y + 3)}^{2} - 45 = - 9 + 9$

Этап 1.7

Перенесем $- 45$ в правую часть уравнения, прибавив $45$ к обеим частям.

$9 {(x - 1)}^{2} + 5 {(y + 3)}^{2} = - 9 + 9 + 45$

Этап 1.8

Упростим $- 9 + 9 + 45$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $- 9$ и $9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} + 5 {(y + 3)}^{2} = 0 + 45$

Этап 1.8.2

Добавим $0$ и $45$ .

$9 {(x - 1)}^{2} + 5 {(y + 3)}^{2} = 45$

Этап 1.9

Разделим каждый член на $45$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{9 {(x - 1)}^{2}}{45} + \frac{5 {(y + 3)}^{2}}{45} = \frac{45}{45}$

Этап 1.10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{5} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 3$

$b = \sqrt{5}$

$k = - 3$

$h = 1$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(1, - 3)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(3)}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{9 - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{9 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{9 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{9 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{9 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{9 - 5^{1}}$

Этап 5.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{9 - 1 \cdot 5}$

Этап 5.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\sqrt{9 - 5}$

Этап 5.3.3.2

Вычтем $5$ из $9$ .

$\sqrt{4}$

Этап 5.3.3.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Этап 5.3.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$2$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(1, - 3 + 3)$

Этап 6.3

Упростим.

$(1, 0)$

Этап 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.5

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(1, - 3 - (3))$

Этап 6.6

Упростим.

$(1, - 6)$

Этап 6.7

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 6)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 6)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(1, - 3 + 2)$

Этап 7.3

Упростим.

$(1, - 1)$

Этап 7.4

Первый фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.5

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(1, - 3 - (2))$

Этап 7.6

Упростим.

$(1, - 5)$

Этап 7.7

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(1, - 1)$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 5)$

${Focus}_{1}$ : $(1, - 1)$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 5)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}}{3}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - {\sqrt{5}}^{2}}}{3}$

Этап 8.3.2

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{3}$

Этап 8.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{9 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{3}$

Этап 8.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - 5^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Этап 8.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{9 - 5^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Этап 8.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{9 - 5^{1}}}{3}$

Этап 8.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{9 - 1 \cdot 5}}{3}$

Этап 8.3.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{\sqrt{9 - 5}}{3}$

Этап 8.3.4

Вычтем $5$ из $9$ .

$\frac{\sqrt{4}}{3}$

Этап 8.3.5

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{3}$

Этап 8.3.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2}{3}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(1, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 6)$

${Focus}_{1}$ : $(1, - 1)$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 5)$

Эксцентриситет: $\frac{2}{3}$

Этап 10