Основы алгебры Примеры

$- 9 z (z - 4) > 4 z - 3$

Этап 1

Упростим $- 9 z (z - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$0 + 0 - 9 z (z - 4) > 4 z - 3$

Этап 1.2

Упростим путем добавления нулей.

$- 9 z (z - 4) > 4 z - 3$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 9 z \cdot z - 9 z \cdot - 4 > 4 z - 3$

Этап 1.4

Умножим $z$ на $z$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перенесем $z$ .

$- 9 (z \cdot z) - 9 z \cdot - 4 > 4 z - 3$

Этап 1.4.2

Умножим $z$ на $z$ .

$- 9 z^{2} - 9 z \cdot - 4 > 4 z - 3$

Этап 1.5

Умножим $- 4$ на $- 9$ .

$- 9 z^{2} + 36 z > 4 z - 3$

Этап 2

Перенесем все члены с $z$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $4 z$ из обеих частей неравенства.

$- 9 z^{2} + 36 z - 4 z > - 3$

Этап 2.2

Вычтем $4 z$ из $36 z$ .

$- 9 z^{2} + 32 z > - 3$

Этап 3

Добавим $3$ к обеим частям неравенства.

$- 9 z^{2} + 32 z + 3 > 0$

Этап 4

Преобразуем неравенство в уравнение.

$- 9 z^{2} + 32 z + 3 = 0$

Этап 5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6

Подставим значения $a = - 9$ , $b = 32$ и $c = 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $z$ .

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (- 9 \cdot 3)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $32$ в степень $2$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot - 9 \cdot 3}}{2 \cdot - 9}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 9 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 9$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 36 \cdot 3}}{2 \cdot - 9}$

Этап 7.1.2.2

Умножим $36$ на $3$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 108}}{2 \cdot - 9}$

Этап 7.1.3

Добавим $1024$ и $108$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1132}}{2 \cdot - 9}$

Этап 7.1.4

Перепишем $1132$ в виде $2^{2} \cdot 283$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $1132$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (283)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 283}}{2 \cdot - 9}$

Этап 7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$z = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{2 \cdot - 9}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $- 9$ .

$z = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{- 18}$

Этап 7.3

Упростим $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{- 18}$ .

$z = \frac{16 \pm \sqrt{283}}{9}$

Этап 8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Возведем $32$ в степень $2$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot - 9 \cdot 3}}{2 \cdot - 9}$

Этап 8.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 9 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 9$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 36 \cdot 3}}{2 \cdot - 9}$

Этап 8.1.2.2

Умножим $36$ на $3$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 108}}{2 \cdot - 9}$

Этап 8.1.3

Добавим $1024$ и $108$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1132}}{2 \cdot - 9}$

Этап 8.1.4

Перепишем $1132$ в виде $2^{2} \cdot 283$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $1132$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (283)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 8.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 283}}{2 \cdot - 9}$

Этап 8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$z = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{2 \cdot - 9}$

Этап 8.2

Умножим $2$ на $- 9$ .

$z = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{- 18}$

Этап 8.3

Упростим $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{- 18}$ .

$z = \frac{16 \pm \sqrt{283}}{9}$

Этап 8.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$z = \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$

Этап 9

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведем $32$ в степень $2$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot - 9 \cdot 3}}{2 \cdot - 9}$

Этап 9.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 9 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 9$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 36 \cdot 3}}{2 \cdot - 9}$

Этап 9.1.2.2

Умножим $36$ на $3$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 108}}{2 \cdot - 9}$

Этап 9.1.3

Добавим $1024$ и $108$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1132}}{2 \cdot - 9}$

Этап 9.1.4

Перепишем $1132$ в виде $2^{2} \cdot 283$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $1132$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (283)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 9.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 283}}{2 \cdot - 9}$

Этап 9.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$z = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{2 \cdot - 9}$

Этап 9.2

Умножим $2$ на $- 9$ .

$z = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{- 18}$

Этап 9.3

Упростим $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{- 18}$ .

$z = \frac{16 \pm \sqrt{283}}{9}$

Этап 9.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$z = \frac{16 - \sqrt{283}}{9}$

Этап 10

Объединим решения.

$z = \frac{16 + \sqrt{283}}{9}, \frac{16 - \sqrt{283}}{9}$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$z < \frac{16 - \sqrt{283}}{9}$

$\frac{16 - \sqrt{283}}{9} < z < \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$

$z > \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $z < \frac{16 - \sqrt{283}}{9}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $z < \frac{16 - \sqrt{283}}{9}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$z = - 3$

Этап 12.1.2

Заменим $z$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$- 9 \cdot - 3 ((- 3) - 4) > 4 (- 3) - 3$

Этап 12.1.3

Левая часть $- 189$ не больше правой части $- 15$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $\frac{16 - \sqrt{283}}{9} < z < \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{16 - \sqrt{283}}{9} < z < \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$z = 0$

Этап 12.2.2

Заменим $z$ на $0$ в исходном неравенстве.

$- 9 \cdot 0 ((0) - 4) > 4 (0) - 3$

Этап 12.2.3

Левая часть $0$ больше правой части $- 3$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $z > \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $z > \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$z = 6$

Этап 12.3.2

Заменим $z$ на $6$ в исходном неравенстве.

$- 9 \cdot 6 ((6) - 4) > 4 (6) - 3$

Этап 12.3.3

Левая часть $- 108$ не больше правой части $21$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$z < \frac{16 - \sqrt{283}}{9}$ Ложь

$\frac{16 - \sqrt{283}}{9} < z < \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ Истина

$z > \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ Ложь

$z < \frac{16 - \sqrt{283}}{9}$ Ложь

$\frac{16 - \sqrt{283}}{9} < z < \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ Истина

$z > \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ Ложь

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{16 - \sqrt{283}}{9} < z < \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$

Этап 14