Основы алгебры Примеры

$f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$

Этап 1

Найдем вершину функции абсолютного значения. В этом случае вершина $y = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ лежит в точке $(2, 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти координату $x$ вершины, зададим абсолютное значение $\frac{x - 2}{x + 2}$ равным $0$ . В данном случае $\frac{x - 2}{x + 2} = 0$ .

$\frac{x - 2}{x + 2} = 0$

Этап 1.2

Решим уравнение $\frac{x - 2}{x + 2} = 0$ , чтобы найти координату $x$ вершины графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Приравняем числитель к нулю.

$x - 2 = 0$

Этап 1.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 1.3

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$y = | \frac{(2) - 2}{(2) + 2} |$

Этап 1.4

Упростим $| \frac{(2) - 2}{(2) + 2} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель $(2) - 2$ и $(2) + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y = | \frac{2 \cdot 1 - 2}{2 + 2} |$

Этап 1.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y = | \frac{2 \cdot 1 + 2 \cdot - 1}{(2) + 2} |$

Этап 1.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1 + 2 \cdot - 1$ .

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{(2) + 2} |$

Этап 1.4.1.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot 1 + 2} |$

Этап 1.4.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot 1 + 2 (1)} |$

Этап 1.4.1.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1 + 2 (1)$ .

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot (1 + 1)} |$

Этап 1.4.1.4.4

Сократим общий множитель.

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot (1 + 1)} |$

Этап 1.4.1.4.5

Перепишем это выражение.

$y = | \frac{1 - 1}{1 + 1} |$

Этап 1.4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$y = | \frac{0}{1 + 1} |$

Этап 1.4.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$y = | \frac{0}{2} |$

Этап 1.4.2.3

Разделим $0$ на $2$ .

$y = | 0 |$

Этап 1.4.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$y = 0$

Этап 1.5

Вершина графика абсолютного значения находится в точке $(2, 0)$ .

$(2, 0)$

Этап 2

Найдем область определения $f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ и получить список точек, которые помогут составить график функции абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим знаменатель в $\frac{x - 2}{x + 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 2 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq - 2}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq - 2}$

Этап 3

Для каждого значения $x$ имеется одно значение $y$ . Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения, находящиеся вблизи значения $x$ , являющегося вершиной графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим значение $x$ $0$ в $f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ . В данном случае получится точка $(0, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = | \frac{(0) - 2}{(0) + 2} |$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель $(0) - 2$ и $(0) + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$f (0) = | \frac{2 (0) - 2}{(0) + 2} |$

Этап 3.1.2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (0) = | \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1}{(0) + 2} |$

Этап 3.1.2.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1$ .

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{(0) + 2} |$

Этап 3.1.2.1.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 (0) + 2} |$

Этап 3.1.2.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 \cdot 0 + 2 \cdot 1} |$

Этап 3.1.2.1.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 0 + 2 \cdot 1$ .

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 \cdot (0 + 1)} |$

Этап 3.1.2.1.4.4

Сократим общий множитель.

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 \cdot (0 + 1)} |$

Этап 3.1.2.1.4.5

Перепишем это выражение.

$f (0) = | \frac{0 - 1}{0 + 1} |$

Этап 3.1.2.2

Сократим общий множитель $0 - 1$ и $0 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $- 1 (0)$ .

$f (0) = | \frac{- 1 \cdot 0 - 1}{0 + 1} |$

Этап 3.1.2.2.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$f (0) = | \frac{- 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{0 + 1} |$

Этап 3.1.2.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1$ .

$f (0) = | \frac{- 1 \cdot (0 + 1)}{0 + 1} |$

Этап 3.1.2.2.4

Сократим общий множитель.

$f (0) = | \frac{- 1 \cdot (0 + 1)}{0 + 1} |$

Этап 3.1.2.2.5

Разделим $- 1$ на $1$ .

$f (0) = | - 1 |$

Этап 3.1.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 1$ и $0$ равно $1$ .

$f (0) = 1$

Этап 3.1.2.4

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 3.2

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ . В данном случае получится точка $(1, \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = | \frac{(1) - 2}{(1) + 2} |$

Этап 3.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $2$ из $1$ .

$f (1) = | \frac{- 1}{1 + 2} |$

Этап 3.2.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (1) = | \frac{- 1}{3} |$

Этап 3.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (1) = | - \frac{1}{3} |$

Этап 3.2.2.4

$- \frac{1}{3}$ приблизительно равно $- 0.\overline{3}$ . Это отрицательное число, поэтому обратим знак $- \frac{1}{3}$ и вычтем абсолютное значение.

$f (1) = \frac{1}{3}$

Этап 3.2.2.5

Окончательный ответ: $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

Этап 3.3

Подставим значение $x$ $3$ в $f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ . В данном случае получится точка $(3, \frac{1}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = | \frac{(3) - 2}{(3) + 2} |$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $2$ из $3$ .

$f (3) = | \frac{1}{3 + 2} |$

Этап 3.3.2.2

Добавим $3$ и $2$ .

$f (3) = | \frac{1}{5} |$

Этап 3.3.2.3

$\frac{1}{5}$ приблизительно равно $0.2$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$f (3) = \frac{1}{5}$

Этап 3.3.2.4

Окончательный ответ: $\frac{1}{5}$ .

$y = \frac{1}{5}$

Этап 3.4

Подставим значение $x$ $4$ в $f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ . В данном случае получится точка $(4, \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = | \frac{(4) - 2}{(4) + 2} |$

Этап 3.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $(4) - 2$ и $(4) + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (4) = | \frac{2 \cdot 2 - 2}{4 + 2} |$

Этап 3.4.2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (4) = | \frac{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1}{(4) + 2} |$

Этап 3.4.2.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1$ .

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{(4) + 2} |$

Этап 3.4.2.1.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot 2 + 2} |$

Этап 3.4.2.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot 2 + 2 (1)} |$

Этап 3.4.2.1.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 2 + 2 (1)$ .

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot (2 + 1)} |$

Этап 3.4.2.1.4.4

Сократим общий множитель.

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot (2 + 1)} |$

Этап 3.4.2.1.4.5

Перепишем это выражение.

$f (4) = | \frac{2 - 1}{2 + 1} |$

Этап 3.4.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (4) = | \frac{1}{2 + 1} |$

Этап 3.4.2.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$f (4) = | \frac{1}{3} |$

Этап 3.4.2.3

$\frac{1}{3}$ приблизительно равно $0.\overline{3}$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$f (4) = \frac{1}{3}$

Этап 3.4.2.4

Окончательный ответ: $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

Этап 3.5

График функции абсолютного значения можно построить по точкам около вершины $(2, 0), (0, 1), (1, 0.33), (3, 0.2), (4, 0.33)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 1 \\ 1 & 0.33 \\ 2 & 0 \\ 3 & 0.2 \\ 4 & 0.33 \end{array}$

Этап 4