Основы алгебры Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{| x - 1 |}$

Этап 1

Найдем область определения $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ и получить список точек, которые помогут составить график функции абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$| x - 1 | = 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm 0$

Этап 1.2.2

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 1.2.3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 1}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 1}$

Этап 2

Для каждого значения $x$ имеется одно значение $y$ . Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения, находящиеся вблизи значения $x$ , являющегося вершиной графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим значение $x$ $- 2$ в $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ . В данном случае получится точка $(- 2, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{((- 2) + 1) ((- 2) - 1)}{| (- 2) - 1 |}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Добавим $- 2$ и $1$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 (- 2 - 1)}{| - 2 - 1 |}$

Этап 2.1.2.1.2

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 3}{| - 2 - 1 |}$

Этап 2.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 3}{| - 3 |}$

Этап 2.1.2.2.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 3$ и $0$ равно $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 3}{3}$

Этап 2.1.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$f (- 2) = \frac{3}{3}$

Этап 2.1.2.3.2

Разделим $3$ на $3$ .

$f (- 2) = 1$

Этап 2.1.2.4

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 2.2

Подставим значение $x$ $- 1$ в $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ . В данном случае получится точка $(- 1, 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{((- 1) + 1) ((- 1) - 1)}{| (- 1) - 1 |}$

Этап 2.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (- 1) = \frac{0 (- 1 - 1)}{| - 1 - 1 |}$

Этап 2.2.2.1.2

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{0 \cdot - 2}{| - 1 - 1 |}$

Этап 2.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{0 \cdot - 2}{| - 2 |}$

Этап 2.2.2.2.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 2$ и $0$ равно $2$ .

$f (- 1) = \frac{0 \cdot - 2}{2}$

Этап 2.2.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Умножим $0$ на $- 2$ .

$f (- 1) = \frac{0}{2}$

Этап 2.2.2.3.2

Разделим $0$ на $2$ .

$f (- 1) = 0$

Этап 2.2.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 2.3

Подставим значение $x$ $0$ в $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ . В данном случае получится точка $(0, - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{((0) + 1) ((0) - 1)}{| (0) - 1 |}$

Этап 2.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $- 1 (0)$ .

$f (0) = \frac{(- 1 \cdot 0 + 1) (0 - 1)}{| 0 - 1 |}$

Этап 2.3.2.1.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$f (0) = \frac{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1) (0 - 1)}{| 0 - 1 |}$

Этап 2.3.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}{| 0 - 1 |}$

Этап 2.3.2.1.4

Возведем $0 - 1$ в степень $1$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}{| 0 - 1 |}$

Этап 2.3.2.1.5

Возведем $0 - 1$ в степень $1$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}{| 0 - 1 |}$

Этап 2.3.2.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (0) = \frac{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{1 + 1}}{| 0 - 1 |}$

Этап 2.3.2.1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{2}}{| 0 - 1 |}$

Этап 2.3.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Вычтем $1$ из $0$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{2}}{| - 1 |}$

Этап 2.3.2.2.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 1$ и $0$ равно $1$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{2}}{1}$

Этап 2.3.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Вычтем $1$ из $0$ .

$f (0) = \frac{- 1 {(- 1)}^{2}}{1}$

Этап 2.3.2.3.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot 1}{1}$

Этап 2.3.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (0) = \frac{- 1}{1}$

Этап 2.3.2.4.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$f (0) = - 1$

Этап 2.3.2.5

Окончательный ответ: $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 2.4

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ . В данном случае получится точка $(2, 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{((2) + 1) ((2) - 1)}{| (2) - 1 |}$

Этап 2.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Добавим $2$ и $1$ .

$f (2) = \frac{3 (2 - 1)}{| 2 - 1 |}$

Этап 2.4.2.1.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (2) = \frac{3 \cdot 1}{| 2 - 1 |}$

Этап 2.4.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (2) = \frac{3 \cdot 1}{| 1 |}$

Этап 2.4.2.2.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$f (2) = \frac{3 \cdot 1}{1}$

Этап 2.4.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Умножим $3$ на $1$ .

$f (2) = \frac{3}{1}$

Этап 2.4.2.3.2

Разделим $3$ на $1$ .

$f (2) = 3$

Этап 2.4.2.4

Окончательный ответ: $3$ .

$y = 3$

Этап 2.5

График функции абсолютного значения можно построить по точкам около вершины $(- 2, 1), (- 1, 0), (0, - 1), (2, 3)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 1 \\ - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}$

Этап 3