Основы алгебры Примеры

$\sqrt{x} < 10$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{x}}^{2} < 10^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < 10^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 10^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 10^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} < 10^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$x < 10^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведем $10$ в степень $2$ .

$x < 100$

Этап 3

Найдем область определения $\sqrt{x} - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 3.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[0, \infty)$

Этап 4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 100$

$x > 100$

Этап 5

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 5.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{- 2} < 10$

Этап 5.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

False

Этап 5.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 100$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 100$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 5.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{2} < 10$

Этап 5.2.3

Левая часть $1.41421356$ меньше правой части $10$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 5.3

Проверим значение на интервале $x > 100$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Выберем значение на интервале $x > 100$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 102$

Этап 5.3.2

Заменим $x$ на $102$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{102} < 10$

Этап 5.3.3

Левая часть $10.09950493$ не меньше правой части $10$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 5.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 100$ Истина

$x > 100$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 100$ Истина

$x > 100$ Ложь

Этап 6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x < 100$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$0 < x < 100$

Интервальное представление:

$(0, 100)$

Этап 8