Основы алгебры Примеры

$- 7 x + \frac{9}{13 x}$

Этап 1

Найдем, где выражение $- 7 x + \frac{9}{13 x}$ не определено.

$x = 0$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы записать $- 7 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{13 x}{13 x}$ .

$- 7 x \cdot \frac{13 x}{13 x} + \frac{9}{13 x}$

Этап 5.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Объединим $- 7 x$ и $\frac{13 x}{13 x}$ .

$\frac{- 7 x (13 x)}{13 x} + \frac{9}{13 x}$

Этап 5.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 7 x (13 x) + 9}{13 x}$

Этап 5.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 7 \cdot 13 x \cdot x + 9}{13 x}$

Этап 5.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 7 \cdot 13 (x \cdot x) + 9}{13 x}$

Этап 5.1.3.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{- 7 \cdot 13 x^{2} + 9}{13 x}$

Этап 5.1.3.3

Умножим $- 7$ на $13$ .

$\frac{- 91 x^{2} + 9}{13 x}$

Этап 5.1.4

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 91 x^{2}$ .

$\frac{- (91 x^{2}) + 9}{13 x}$

Этап 5.1.4.2

Перепишем $9$ в виде $- 1 (- 9)$ .

$\frac{- (91 x^{2}) - 1 (- 9)}{13 x}$

Этап 5.1.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (91 x^{2}) - 1 (- 9)$ .

$\frac{- (91 x^{2} - 9)}{13 x}$

Этап 5.1.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.4.1

Перепишем $- (91 x^{2} - 9)$ в виде $- 1 (91 x^{2} - 9)$ .

$\frac{- 1 (91 x^{2} - 9)}{13 x}$

Этап 5.1.4.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{91 x^{2} - 9}{13 x}$

Этап 5.1.5

Упростим.

$\frac{- 91 x^{2} + 9}{13 x}$

Этап 5.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 91 x^{2}$ .

$\frac{- (91 x^{2}) + 9}{13 x}$

Этап 5.2.2

Перепишем $9$ в виде $- 1 (- 9)$ .

$\frac{- (91 x^{2}) - 1 (- 9)}{13 x}$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (91 x^{2}) - 1 (- 9)$ .

$\frac{- (91 x^{2} - 9)}{13 x}$

Этап 5.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Перепишем $- (91 x^{2} - 9)$ в виде $- 1 (91 x^{2} - 9)$ .

$\frac{- 1 (91 x^{2} - 9)}{13 x}$

Этап 5.2.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{91 x^{2} - 9}{13 x}$

Этап 5.3

Развернем $- (91 x^{2} - 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Изменим знак $91 x^{2} - 9$ на противоположный.

$\frac{- (91 x^{2} - 9)}{13 x}$

Этап 5.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- (91 x^{2}) + 9}{13 x}$

Этап 5.3.3

Избавимся от скобок.

$\frac{- 1 \cdot (91 x^{2}) + 9}{13 x}$

Этап 5.3.4

Умножим $- 1$ на $91$ .

$\frac{- 91 x^{2} + 9}{13 x}$

Этап 5.3.5

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$\frac{- 91 x^{2} + 9}{13 x}$

Этап 5.4

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$13 x$

$0$

$91 x^{2}$

$0 x$

$9$

Этап 5.5

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 91 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $13 x$ .

				-	$7 x$
	$13 x$	+	$0$	-	$91 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$

Этап 5.6

Умножим новое частное на делитель.

			-	$7 x$
$13 x$	+	$0$	-	$91 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
			-	$91 x^{2}$	+	$0$

Этап 5.7

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 91 x^{2} + 0$ .

			-	$7 x$
$13 x$	+	$0$	-	$91 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
			+	$91 x^{2}$	-	$0$

Этап 5.8

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$7 x$
$13 x$	+	$0$	-	$91 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
			+	$91 x^{2}$	-	$0$
						$0$

Этап 5.9

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$7 x$
$13 x$	+	$0$	-	$91 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
			+	$91 x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$9$

Этап 5.10

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$- 7 x + \frac{9}{13 x}$

Этап 5.11

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = - 7 x$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 0$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = - 7 x$

Этап 7