Основы алгебры Примеры

$8 x^{2} - 9 y = 72$

Этап 1

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $8 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 9 y = 72 - 8 x^{2}$

Этап 1.2

Разделим каждый член $- 9 y = 72 - 8 x^{2}$ на $- 9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $- 9 y = 72 - 8 x^{2}$ на $- 9$ .

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{72}{- 9} + \frac{- 8 x^{2}}{- 9}$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{72}{- 9} + \frac{- 8 x^{2}}{- 9}$

Этап 1.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{72}{- 9} + \frac{- 8 x^{2}}{- 9}$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Разделим $72$ на $- 9$ .

$y = - 8 + \frac{- 8 x^{2}}{- 9}$

Этап 1.2.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = - 8 + \frac{8 x^{2}}{9}$

Этап 2

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Изменим порядок $- 8$ и $\frac{8 x^{2}}{9}$ .

$y = \frac{8 x^{2}}{9} - 8$

Этап 2.1.2

Составим полный квадрат для $\frac{8 x^{2}}{9} - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = \frac{8}{9}$

$b = 0$

$c = - 8$

Этап 2.1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (\frac{8}{9})}$

Этап 2.1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{8}{9})}$

Этап 2.1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{8}{9})}$

Этап 2.1.2.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{0}{\frac{8}{9}}$

Этап 2.1.2.3.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = 0 (\frac{9}{8})$

Этап 2.1.2.3.2.3

Умножим $0$ на $\frac{9}{8}$ .

$d = 0$

Этап 2.1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 8 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{8}{9})}$

Этап 2.1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e = - 8 - \frac{0}{4 (\frac{8}{9})}$

Этап 2.1.2.4.2.1.2

Объединим $4$ и $\frac{8}{9}$ .

$e = - 8 - \frac{0}{\frac{4 \cdot 8}{9}}$

Этап 2.1.2.4.2.1.3

Умножим $4$ на $8$ .

$e = - 8 - \frac{0}{\frac{32}{9}}$

Этап 2.1.2.4.2.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e = - 8 - (0 (\frac{9}{32}))$

Этап 2.1.2.4.2.1.5

Умножим $0$ на $\frac{9}{32}$ .

$e = - 8 - 0$

Этап 2.1.2.4.2.1.6

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e = - 8 + 0$

Этап 2.1.2.4.2.2

Добавим $- 8$ и $0$ .

$e = - 8$

Этап 2.1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $\frac{8}{9} {(x + 0)}^{2} - 8$ .

$\frac{8}{9} {(x + 0)}^{2} - 8$

Этап 2.1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = \frac{8}{9} \cdot {(x + 0)}^{2} - 8$

Этап 2.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{8}{9}$

$h = 0$

$k = - 8$

Этап 2.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 2.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(0, - 8)$

Этап 2.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 2.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{8}{9}}$

Этап 2.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Объединим $4$ и $\frac{8}{9}$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 8}{9}}$

Этап 2.5.3.2

Умножим $4$ на $8$ .

$\frac{1}{\frac{32}{9}}$

Этап 2.5.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 (\frac{9}{32})$

Этап 2.5.3.4

Умножим $\frac{9}{32}$ на $1$ .

$\frac{9}{32}$

Этап 2.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 2.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, - \frac{247}{32})$

Этап 2.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 0$

Этап 2.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 2.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{265}{32}$

Этап 2.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(0, - 8)$

Фокус: $(0, - \frac{247}{32})$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = - \frac{265}{32}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(0, - 8)$

Фокус: $(0, - \frac{247}{32})$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = - \frac{265}{32}$

Этап 3

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{8 {(- 1)}^{2}}{9} - 8$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = \frac{8 \cdot 1}{9} - 8$

Этап 3.2.1.2

Умножим $8$ на $1$ .

$f (- 1) = \frac{8}{9} - 8$

Этап 3.2.2

Чтобы записать $- 8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$f (- 1) = \frac{8}{9} - 8 \cdot \frac{9}{9}$

Этап 3.2.3

Объединим $- 8$ и $\frac{9}{9}$ .

$f (- 1) = \frac{8}{9} + \frac{- 8 \cdot 9}{9}$

Этап 3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 1) = \frac{8 - 8 \cdot 9}{9}$

Этап 3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $- 8$ на $9$ .

$f (- 1) = \frac{8 - 72}{9}$

Этап 3.2.5.2

Вычтем $72$ из $8$ .

$f (- 1) = \frac{- 64}{9}$

Этап 3.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 1) = - \frac{64}{9}$

Этап 3.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{64}{9}$ .

$- \frac{64}{9}$

Этап 3.3

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $- \frac{64}{9}$ .

$y = - \frac{64}{9}$

Этап 3.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{8 {(- 2)}^{2}}{9} - 8$

Этап 3.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = \frac{8 \cdot 4}{9} - 8$

Этап 3.5.1.2

Умножим $8$ на $4$ .

$f (- 2) = \frac{32}{9} - 8$

Этап 3.5.2

Чтобы записать $- 8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$f (- 2) = \frac{32}{9} - 8 \cdot \frac{9}{9}$

Этап 3.5.3

Объединим $- 8$ и $\frac{9}{9}$ .

$f (- 2) = \frac{32}{9} + \frac{- 8 \cdot 9}{9}$

Этап 3.5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 2) = \frac{32 - 8 \cdot 9}{9}$

Этап 3.5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Умножим $- 8$ на $9$ .

$f (- 2) = \frac{32 - 72}{9}$

Этап 3.5.5.2

Вычтем $72$ из $32$ .

$f (- 2) = \frac{- 40}{9}$

Этап 3.5.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 2) = - \frac{40}{9}$

Этап 3.5.7

Окончательный ответ: $- \frac{40}{9}$ .

$- \frac{40}{9}$

Этап 3.6

Значение $y$ при $x = - 2$ равно $- \frac{40}{9}$ .

$y = - \frac{40}{9}$

Этап 3.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \frac{8 {(3)}^{2}}{9} - 8$

Этап 3.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = \frac{8 \cdot 9}{9} - 8$

Этап 3.8.1.2

Умножим $8$ на $9$ .

$f (3) = \frac{72}{9} - 8$

Этап 3.8.1.3

Разделим $72$ на $9$ .

$f (3) = 8 - 8$

Этап 3.8.2

Вычтем $8$ из $8$ .

$f (3) = 0$

Этап 3.8.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3.9

Значение $y$ при $x = 3$ равно $0$ .

$y = 0$

Этап 3.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{8 {(1)}^{2}}{9} - 8$

Этап 3.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{8 \cdot 1}{9} - 8$

Этап 3.11.1.2

Умножим $8$ на $1$ .

$f (1) = \frac{8}{9} - 8$

Этап 3.11.2

Чтобы записать $- 8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$f (1) = \frac{8}{9} - 8 \cdot \frac{9}{9}$

Этап 3.11.3

Объединим $- 8$ и $\frac{9}{9}$ .

$f (1) = \frac{8}{9} + \frac{- 8 \cdot 9}{9}$

Этап 3.11.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (1) = \frac{8 - 8 \cdot 9}{9}$

Этап 3.11.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.5.1

Умножим $- 8$ на $9$ .

$f (1) = \frac{8 - 72}{9}$

Этап 3.11.5.2

Вычтем $72$ из $8$ .

$f (1) = \frac{- 64}{9}$

Этап 3.11.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (1) = - \frac{64}{9}$

Этап 3.11.7

Окончательный ответ: $- \frac{64}{9}$ .

$- \frac{64}{9}$

Этап 3.12

Значение $y$ при $x = 1$ равно $- \frac{64}{9}$ .

$y = - \frac{64}{9}$

Этап 3.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - \frac{40}{9} \\ - 1 & - \frac{64}{9} \\ 0 & - 8 \\ 1 & - \frac{64}{9} \\ 3 & 0 \end{array}$

Этап 4

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(0, - 8)$

Фокус: $(0, - \frac{247}{32})$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = - \frac{265}{32}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - \frac{40}{9} \\ - 1 & - \frac{64}{9} \\ 0 & - 8 \\ 1 & - \frac{64}{9} \\ 3 & 0 \end{array}$

Этап 5