Основы алгебры Примеры

$7 y - 2 = 15 y + 10 x^{2} + 4$

Этап 1

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $15 y$ из обеих частей уравнения.

$7 y - 2 - 15 y = 10 x^{2} + 4$

Этап 1.1.2

Вычтем $15 y$ из $7 y$ .

$- 8 y - 2 = 10 x^{2} + 4$

Этап 1.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$- 8 y = 10 x^{2} + 4 + 2$

Этап 1.2.2

Добавим $4$ и $2$ .

$- 8 y = 10 x^{2} + 6$

Этап 1.3

Разделим каждый член $- 8 y = 10 x^{2} + 6$ на $- 8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разделим каждый член $- 8 y = 10 x^{2} + 6$ на $- 8$ .

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{10 x^{2}}{- 8} + \frac{6}{- 8}$

Этап 1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сократим общий множитель $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{10 x^{2}}{- 8} + \frac{6}{- 8}$

Этап 1.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{10 x^{2}}{- 8} + \frac{6}{- 8}$

Этап 1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Сократим общий множитель $10$ и $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $10 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (5 x^{2})}{- 8} + \frac{6}{- 8}$

Этап 1.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$y = \frac{2 (5 x^{2})}{2 (- 4)} + \frac{6}{- 8}$

Этап 1.3.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 (5 x^{2})}{2 \cdot - 4} + \frac{6}{- 8}$

Этап 1.3.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{5 x^{2}}{- 4} + \frac{6}{- 8}$

Этап 1.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{5 x^{2}}{4} + \frac{6}{- 8}$

Этап 1.3.3.1.3

Сократим общий множитель $6$ и $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$y = - \frac{5 x^{2}}{4} + \frac{2 (3)}{- 8}$

Этап 1.3.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$y = - \frac{5 x^{2}}{4} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 4}$

Этап 1.3.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{5 x^{2}}{4} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 4}$

Этап 1.3.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{5 x^{2}}{4} + \frac{3}{- 4}$

Этап 1.3.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{5 x^{2}}{4} - \frac{3}{4}$

Этап 2

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Составим полный квадрат для $- \frac{5 x^{2}}{4} - \frac{3}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - \frac{5}{4}$

$b = 0$

$c = - \frac{3}{4}$

Этап 2.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (- \frac{5}{4})}$

Этап 2.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{5}{4})}$

Этап 2.1.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{5}{4})}$

Этап 2.1.1.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{0}{- \frac{5}{4}}$

Этап 2.1.1.3.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = 0 (- \frac{4}{5})$

Этап 2.1.1.3.2.3

Умножим $0 (- \frac{4}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.3.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$d = 0 (\frac{4}{5})$

Этап 2.1.1.3.2.3.2

Умножим $0$ на $\frac{4}{5}$ .

$d = 0$

Этап 2.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{3}{4} - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{5}{4})}$

Этап 2.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e = - \frac{3}{4} - \frac{0}{4 (- \frac{5}{4})}$

Этап 2.1.1.4.2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = - \frac{3}{4} - \frac{0}{- 4 (\frac{5}{4})}$

Этап 2.1.1.4.2.1.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{5}{4}$ .

$e = - \frac{3}{4} - \frac{0}{\frac{- 4 \cdot 5}{4}}$

Этап 2.1.1.4.2.1.3

Умножим $- 4$ на $5$ .

$e = - \frac{3}{4} - \frac{0}{\frac{- 20}{4}}$

Этап 2.1.1.4.2.1.4

Разделим $- 20$ на $4$ .

$e = - \frac{3}{4} - \frac{0}{- 5}$

Этап 2.1.1.4.2.1.5

Разделим $0$ на $- 5$ .

$e = - \frac{3}{4} - 0$

Этап 2.1.1.4.2.1.6

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e = - \frac{3}{4} + 0$

Этап 2.1.1.4.2.2

Добавим $- \frac{3}{4}$ и $0$ .

$e = - \frac{3}{4}$

Этап 2.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- \frac{5}{4} {(x + 0)}^{2} - \frac{3}{4}$ .

$- \frac{5}{4} {(x + 0)}^{2} - \frac{3}{4}$

Этап 2.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - \frac{5}{4} \cdot {(x + 0)}^{2} - \frac{3}{4}$

Этап 2.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - \frac{5}{4}$

$h = 0$

$k = - \frac{3}{4}$

Этап 2.3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 2.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(0, - \frac{3}{4})$

Этап 2.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 2.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{5}{4})}$

Этап 2.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{5}{4})}$

Этап 2.5.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4 (\frac{5}{4})}$

Этап 2.5.3.2

Объединим $4$ и $\frac{5}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 5}{4}}$

Этап 2.5.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.3.1

Умножим $4$ на $5$ .

$- \frac{1}{\frac{20}{4}}$

Этап 2.5.3.3.2

Разделим $20$ на $4$ .

$- \frac{1}{5}$

Этап 2.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 2.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, - \frac{19}{20})$

Этап 2.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 0$

Этап 2.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 2.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{11}{20}$

Этап 2.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(0, - \frac{3}{4})$

Фокус: $(0, - \frac{19}{20})$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = - \frac{11}{20}$

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(0, - \frac{3}{4})$

Фокус: $(0, - \frac{19}{20})$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = - \frac{11}{20}$

Этап 3

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - \frac{5 {(- 1)}^{2}}{4} - \frac{3}{4}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 1) = \frac{- 5 {(- 1)}^{2} - 3}{4}$

Этап 3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = \frac{- 5 \cdot 1 - 3}{4}$

Этап 3.2.2.2

Умножим $- 5$ на $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 5 - 3}{4}$

Этап 3.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вычтем $3$ из $- 5$ .

$f (- 1) = \frac{- 8}{4}$

Этап 3.2.3.2

Разделим $- 8$ на $4$ .

$f (- 1) = - 2$

Этап 3.2.4

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 3.3

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $- 2$ .

$y = - 2$

Этап 3.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = - \frac{5 {(- 2)}^{2}}{4} - \frac{3}{4}$

Этап 3.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 2) = \frac{- 5 {(- 2)}^{2} - 3}{4}$

Этап 3.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 5 \cdot 4 - 3}{4}$

Этап 3.5.2.2

Умножим $- 5$ на $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 20 - 3}{4}$

Этап 3.5.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Вычтем $3$ из $- 20$ .

$f (- 2) = \frac{- 23}{4}$

Этап 3.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 2) = - \frac{23}{4}$

Этап 3.5.4

Окончательный ответ: $- \frac{23}{4}$ .

$- \frac{23}{4}$

Этап 3.6

Значение $y$ при $x = - 2$ равно $- \frac{23}{4}$ .

$y = - \frac{23}{4}$

Этап 3.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = - \frac{5 {(1)}^{2}}{4} - \frac{3}{4}$

Этап 3.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (1) = \frac{- 5 {(1)}^{2} - 3}{4}$

Этап 3.8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{- 5 \cdot 1 - 3}{4}$

Этап 3.8.2.2

Умножим $- 5$ на $1$ .

$f (1) = \frac{- 5 - 3}{4}$

Этап 3.8.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Вычтем $3$ из $- 5$ .

$f (1) = \frac{- 8}{4}$

Этап 3.8.3.2

Разделим $- 8$ на $4$ .

$f (1) = - 2$

Этап 3.8.4

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 3.9

Значение $y$ при $x = 1$ равно $- 2$ .

$y = - 2$

Этап 3.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = - \frac{5 {(3)}^{2}}{4} - \frac{3}{4}$

Этап 3.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (3) = \frac{- 5 {(3)}^{2} - 3}{4}$

Этап 3.11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = \frac{- 5 \cdot 9 - 3}{4}$

Этап 3.11.2.2

Умножим $- 5$ на $9$ .

$f (3) = \frac{- 45 - 3}{4}$

Этап 3.11.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.1

Вычтем $3$ из $- 45$ .

$f (3) = \frac{- 48}{4}$

Этап 3.11.3.2

Разделим $- 48$ на $4$ .

$f (3) = - 12$

Этап 3.11.4

Окончательный ответ: $- 12$ .

$- 12$

Этап 3.12

Значение $y$ при $x = 3$ равно $- 12$ .

$y = - 12$

Этап 3.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - \frac{23}{4} \\ - 1 & - 2 \\ 0 & - \frac{3}{4} \\ 1 & - 2 \\ 3 & - 12 \end{array}$

Этап 4

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(0, - \frac{3}{4})$

Фокус: $(0, - \frac{19}{20})$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = - \frac{11}{20}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - \frac{23}{4} \\ - 1 & - 2 \\ 0 & - \frac{3}{4} \\ 1 & - 2 \\ 3 & - 12 \end{array}$

Этап 5