Основы алгебры Примеры

$f (x) = 5 {(x - 4)}^{2} - 3$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 5$

$h = 4$

$k = - 3$

Этап 1.2

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(4, - 3)$

Этап 1.4

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.4.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 5}$

Этап 1.4.3

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{1}{20}$

Этап 1.5

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.5.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(4, - \frac{59}{20})$

Этап 1.6

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 4$

Этап 1.7

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.7.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{61}{20}$

Этап 1.8

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(4, - 3)$

Фокус: $(4, - \frac{59}{20})$

Ось симметрии: $x = 4$

Директриса: $y = - \frac{61}{20}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(4, - 3)$

Фокус: $(4, - \frac{59}{20})$

Ось симметрии: $x = 4$

Директриса: $y = - \frac{61}{20}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = 5 {(3)}^{2} - 40 \cdot 3 + 77$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = 5 \cdot 9 - 40 \cdot 3 + 77$

Этап 2.2.1.2

Умножим $5$ на $9$ .

$f (3) = 45 - 40 \cdot 3 + 77$

Этап 2.2.1.3

Умножим $- 40$ на $3$ .

$f (3) = 45 - 120 + 77$

Этап 2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $120$ из $45$ .

$f (3) = - 75 + 77$

Этап 2.2.2.2

Добавим $- 75$ и $77$ .

$f (3) = 2$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = 3$ равно $2$ .

$y = 2$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = 5 {(2)}^{2} - 40 \cdot 2 + 77$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = 5 \cdot 4 - 40 \cdot 2 + 77$

Этап 2.5.1.2

Умножим $5$ на $4$ .

$f (2) = 20 - 40 \cdot 2 + 77$

Этап 2.5.1.3

Умножим $- 40$ на $2$ .

$f (2) = 20 - 80 + 77$

Этап 2.5.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $80$ из $20$ .

$f (2) = - 60 + 77$

Этап 2.5.2.2

Добавим $- 60$ и $77$ .

$f (2) = 17$

Этап 2.5.3

Окончательный ответ: $17$ .

$17$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = 2$ равно $17$ .

$y = 17$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = 5 {(5)}^{2} - 40 \cdot 5 + 77$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Умножим $5$ на ${(5)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1.1

Умножим $5$ на ${(5)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1.1.1

Возведем $5$ в степень $1$ .

$f (5) = 5 {(5)}^{2} - 40 \cdot 5 + 77$

Этап 2.8.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (5) = 5^{1 + 2} - 40 \cdot 5 + 77$

Этап 2.8.1.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (5) = 5^{3} - 40 \cdot 5 + 77$

Этап 2.8.1.2

Возведем $5$ в степень $3$ .

$f (5) = 125 - 40 \cdot 5 + 77$

Этап 2.8.1.3

Умножим $- 40$ на $5$ .

$f (5) = 125 - 200 + 77$

Этап 2.8.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Вычтем $200$ из $125$ .

$f (5) = - 75 + 77$

Этап 2.8.2.2

Добавим $- 75$ и $77$ .

$f (5) = 2$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = 5$ равно $2$ .

$y = 2$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f (6) = 5 {(6)}^{2} - 40 \cdot 6 + 77$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f (6) = 5 \cdot 36 - 40 \cdot 6 + 77$

Этап 2.11.1.2

Умножим $5$ на $36$ .

$f (6) = 180 - 40 \cdot 6 + 77$

Этап 2.11.1.3

Умножим $- 40$ на $6$ .

$f (6) = 180 - 240 + 77$

Этап 2.11.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Вычтем $240$ из $180$ .

$f (6) = - 60 + 77$

Этап 2.11.2.2

Добавим $- 60$ и $77$ .

$f (6) = 17$

Этап 2.11.3

Окончательный ответ: $17$ .

$17$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = 6$ равно $17$ .

$y = 17$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 17 \\ 3 & 2 \\ 4 & - 3 \\ 5 & 2 \\ 6 & 17 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(4, - 3)$

Фокус: $(4, - \frac{59}{20})$

Ось симметрии: $x = 4$

Директриса: $y = - \frac{61}{20}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 17 \\ 3 & 2 \\ 4 & - 3 \\ 5 & 2 \\ 6 & 17 \end{array}$

Этап 4